Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение 5.Пусть функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru определена на промежутке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru и интегрируема по Риману на любом отрезке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Если существует (конечный) предел

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ,

то его называют несобственным интегралом (первого рода) и обозначают

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . (31)

Таким образом

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

В этом случае говорят также, что несобственный интеграл (31) сходитсяна промежутке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , а функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru называется интегрируемой (в несобственном смысле) на промежутке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Если же предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Замечания.1)Если Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , то интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru и Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru сходятся или расходятся одновременно, т.к. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru и Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru существуют одновременно.

2) Если Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru имеет первообразную Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru на промежутке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , то

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

3) Очевидно, что для несобственных интегралов выполняется свойство линейности: если интегралы (31) для Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru и Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru существуют, то

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

4) Аналогично определяются несобственные интегралы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Поэтому дальше будем рассматривать только интеграл (31).

Примеры. 1) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , т. е. данный интеграл сходится.

2) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , но предел функции Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru не существует, следовательно, интеграл расходится.

3) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ; интеграл расходится, так как

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

4) Исследовать сходимость интеграла Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , если Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru – некоторое число.

а) Если α≠1, то для любого Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

б) Если Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , то для любого Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Таким образом, данный интеграл сходится при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru и расходится при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Теорема 29(критерий Коши).Для того чтобы несобственный интеграл (31) был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

□ Сходимость интеграла Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru существованию конечного предела Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Но в силу критерия Коши для функции Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru для существования предела необходимо и достаточно, чтобы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

Тогда последнее неравенство можно переписать в виде:

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ■ Теорема 30(признак сравнения). Пусть

а) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru и Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru определены на Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , интегрируемы на Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ;

б) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ;

в) несобственный интеграл Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru – сходится. Тогда сходится и Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

 Поскольку Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru сходится, то по теореме 29 выполняется критерий Коши: Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .Теперь проверим критерий Коши для функции Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru : Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Критерий Коши выполняется и, следовательно, интеграл сходится. ■

Определение 6. Несобственный интеграл (31) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru (32)

Если интеграл (31) сходится, а (32) расходится, то говорят, что интеграл (31) сходится условно. Из теоремы ясно, что если (31) абсолютно сходится, то и просто сходится.

Теорема 31 (основной критерий сходимости).Пусть Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , тогда для сходимости интеграла (31) необходимо и достаточно, чтобы

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . (33)

 Функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru не убывает при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , т.к. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Поэтому, для сходимости интеграла (31) , т.е. для существования предела, необходимо и достаточно, чтобы функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru была ограничена сверху:

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

Теорема 32 (признак Дирихле).Пусть выполняются следующие условия:

а) функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru интегрируема по Риману на любом отрезке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

б) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ;

в) функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru непрерывно дифференцируема и монотонно убывает, стремясь к нулю при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Тогда Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru – сходится.

 Рассмотрим Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . По условию теоремы функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ограничена Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , т.е. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru (из условия (а)). Заметим, что Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . По формуле интегрирования по частям, имеем:

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru (34)

Рассмотрим интеграл в правой части и оценим, учитывая, что по условию (в) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru монотонно убывает, следовательно Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru

Из теоремы 28 несобственный интеграл Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru сходится абсолютно, а значит и просто сходится. Следовательно, существует конечный предел Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Т.к. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru и Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , то Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Следовательно, в правой части (34) существуют пределы всех слагаемых. ■

Примеры. Заметим, что в примерах 1-4 вычисление несобствен­ного интеграла было основано на его определении, однако часто достаточно только исследования сходимости интеграла. Для этого как раз и используются доказанные теоремы.

5)Исследовать сходимость Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Решение. Сравним подынтегральную функцию Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru с функцией Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru на промежутке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Очевидно, что

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Но интеграл Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru сходится, так как Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru . Следовательно, согласно

признаку сравнения сходится и данный интеграл.

6)Исследовать сходимость Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Решение. Сравнивая подынтегральную функцию Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , с функцией Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru на промежутке Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru , имеем:

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Но интеграл Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru расходится, так как Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru (пример 40). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл расходится.

7)Интеграл Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru по признаку Дирихле сходится, поскольку:

а) функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru интегрируема на любом отрезке,

б) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru ,

в) функция Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru непрерывно дифференцируемая и монотонно убывает при Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. - student2.ru .

Наши рекомендации