Предел функции. Предел последовательности

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Кафедра высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Часть 2

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ
для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета
по дисциплине "Математика"

Мурманск

УДК 517 (076.5)

ББК 22.161Я73

М 54

Составители: В.С. Кацуба, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Л.Г. Мостовская, доцент кафедры высшей математики
и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой
13 декабря 2006 г., протокол № 3

Рецензент – Ю.П. Драница, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

Оригинал-макет подготовлен в авторской редакции

Электронная верстка О.Р. Аптышевой

Мурманский государственный технический университет, 2007

Оглавление

Введение.. 4

Методические указания по темАМ "Элементы теории функций. Комплексные числа" и "Дифференциальное исчисление функции одной переменной". 5

Справочный материал по теме "Элементы теории функций. Комплексные числа". 6

1. Функции и их свойства. 6

2. Предел функции. Предел последовательности. 9

3. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции 11

4. Вычисление пределов. 13

5. Раскрытие неопределенностей. 14

6. Непрерывность функции, точки разрыва. 16

7. Комплексные числа. 18

8. Действия над комплексными числами. 20

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 3. 21

Справочный материал по теме "Дифференциальное исчисление функциЙ одной переменной". 31

1. Дифференцирование функций. 31

2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. 33

3. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя. 33

4. Исследование функций и построение графиков. 34

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 4. 38

Варианты контрольнЫХ работ.. 46

Варианты контрольной работы 3. 47

Варианты контрольной работы 4. 51

Рекомендуемая литература.. 54

Введение

В настоящем пособии содержатся методические рекомендации
к изучению теоретического материала и выполнению контрольных работ по темам "Элементы теории функций. Комплексные числа" и "Дифференциальное исчисление функций одной переменной", а также варианты
контрольных работ 3 и 4 по этим темам для студентов ВЗФ.

В результате изучения этих тем студенты 1-го курса должны:

• владеть понятиями функции, сложной и обратной функций, знать свойства основных элементарных функций, уметь определять их основные характеристики по графикам функций;

• знать определения предела функции и предела последовательности;

• уметь вычислять пределы, раскрывать неопределенности и анализи-ровать полученный результат с точки зрения определения предела;

• уметь исследовать функции на непрерывность, определять точки разрыва функции и устанавливать тип разрыва;

• знать, что такое мнимая единица и комплексное число, уметь производить операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах;

• уметь решать простейшие алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел;

• владеть основными понятиями дифференциального исчисления (производная и ее геометрический смысл, дифференциал), уметь находить производные функций, заданных явно, неявно или параметрически;

• иметь навыки решения основных задач с использованием производных: геометрические задачи на касательную и нормаль, вычисление пределов
с использованием правила Лопиталя и пр.;

• знать приемы исследования функций с помощью производной.

Данные методические рекомендации включают также список рекомендуемой литературы, справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ 3 и 4 для студентов 1-го курса и решение примерных вариантов этих работ, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.

Методические указания по темАМ
"Элементы теории функций. Комплексные числа"
и "Дифференциальное исчисление функции
одной переменной"

В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.

Таблица 1

№ к. раб.	№ задачи	Содержание (темы)	Литература
		Основные элементарные функции, их графики и основные характеристики. Сложные функции. Обратные функции	[1], гл. V, § 14; [2], гл. 4, § 1, 11, 12.1; [3], гл. VI, № 610–637; [4], гл. 4, № 15–38, 43–60, 62–71, 73–108, 151, 153
		Предел числовой последовательности и функции непрерывного аргумента. Вычисление пределов, раскрытие основных видов неопределенностей. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции	[1], гл. V, § 15–18; [2], гл. 4, § 2–6; [3], гл. VI, № 638–690, 692, 693, 700, 707, 714–719; [4], гл. 2, № 21–24, 26–28, 63–68, гл. 4, № 228–246, 285, 289, 346–351, 355, 358–359
		Определение непрерывности функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация. Исследование функции на непрерывность	[1], гл. V, § 19; [2], гл. 4, § 7–9; [3], гл. VI, № 723–735
		Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Решение простейших алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел	[1], гл. VI, § 27–28; [2], гл. 14, § 6.1; [4], гл. 9, № 1–52

Окончание табл. 1

№ к. раб.	№ задачи	Содержание (темы)	Литература
		Определение производной. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные сложных функций. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков	[1], гл.V, § 20, 21, 23.1; [2], гл. 5, § 1, 4, 5, 7–9, 10.1, 11; [3], гл. VII, № 771–811, 900–907, 909–912, 950, 951, 964, 965, 969; [4], гл. 5, № 14–44, 162–167, 206–211
		Уравнения касательной и нормали к плоской кривой	[1], гл. V, § 20.2; [2], гл. 5, § 1.2; [3], гл. VII, № 917–921, 923–930; [4], гл. 5, № 139–144
		Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя	[1], гл. V, § 25.2; [2], гл. 6, § 1, 2; [3], гл. VII, № 1024–1028, 1030–1040; [4], гл. 5, № 225–240, 258–264
		Монотонность и экстремумы функций. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Полное исследование функции и построение ее графика	[1], гл. V, § 25.3–25.8; [2], гл. 6, § 4; [3], гл. VII, № 1055–1058, 1061–1064, 1083–1084, 1091–1094, 1102–1109; [4], гл. 5, № 282, 293, 296, 297–300, 315–324, 334, 339, 342, 344–347

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии
с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал по теме
"Элементы теории функций. Комплексные числа"

Функции и их свойства

Переменной называют величину x Î X, принимающую значения из некоторого множества значений Х.

Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено
в соответствие по определенному правилу f единственное значение пере-менной у из множества Y, то говорят, что задана функция , определенная на множестве Х с множеством значений Y. При этом используют следующие названия:

х – аргумент (независимая переменная);

у – значение функции (зависимая переменная);

Х – область определения функции (ООФ);

Y – множество значений функции (ОЗФ).

Функция , область определения Х которой симметрична
относительно начала координат, называется четной, если ,
и называется нечетной, если , " .

Примеры. y = cos x – четная функция, y = x³ – нечетная функция, – функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

Функция называется периодической, если существует положительное число Т, такое, что , "x Î X.

Примеры. y = tg x – периодическая функция, наименьший период T = π, y = ln x – непериодическая функция.

Значение функции – переменная величина, поэтому можно рассматривать новую функцию с аргументом у: z = g (y), где ,
т. е. функцию z = g (f (x)). Такая функция называется сложной функцией
от х, или суперпозицией функций f и g.

Пример. z = tg (х² + 3x – 1)– суперпозиция функций z = tg у
и у = х² + 3x – 1.

Если ставится в соответствие единственное значение , такое, что , то говорят, что задана функция , которую называют обратной по отношению к функции . Функции f и называются взаимно обратными функциями. Если у обратной функции обозначить аргумент буквой х, а функцию – буквой у,
то графики взаимно обратных функций и будут симметричны относительно прямой у = х.

Пример. y = lg x и y = 10^x – взаимно обратные функции.

Все функции, задаваемые аналитическим способом, можно разбить
на два класса: элементарные и неэлементарные. В классе элементарных функций выделяют основные элементарные функции: степенная (у = xⁿ), показательные (y = a^x), тригонометрические (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x), а также обратные к ним (логарифмические, обратные тригонометрические и др.). Элементарными называют функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, а также суперпозиции основных элемен-тарных функций. Все остальные функции относятся к неэлементарным.

Примеры. y = lg (cos x) – элементарная функция, так как является суперпозицией основных элементарных функций y = lg x и y = cos x; – неэлементарная функция.

Нулями функции называют точки х, в которых выполнено равенство . Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Oх.

Пример. У функции y = lg (x) единственный нуль – точка х = 1.

Функция называется монотонно возрастающей на интервале х Î (а; b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂ > х₁ следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающей на интервале х Î (а; b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂ > х₁ следует неравенство .

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция монотонна на интервале х Î(а; b), то она имеет обратную функцию .

Пример. Функция y = tg x монотонна на интервале , ее ОЗФ: . Она имеет обратную функцию y = arctg x, определенную на интервале , с ОЗФ: .

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если суще-ствует такая двухсторонняя окрестность точки х₀, что для всякой точки х ¹ х₀ этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумом функции и обозначается y_max.

Аналогично, если для всякой точки х ¹ х₀ из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то называется точкой минимума, а число – минимумом функции и обозначается y_min.

Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а числа y_max и y_min называются экстремумами функции.

Пример. Функция y = cos x имеет точки максимумов x = 2pk, k = 0, ±1, ±2, …, , и точки минимумов x = p + 2pk, k = 0, ±1, ±2, …, .

Предел функции. Предел последовательности

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х = а, где а – конечная или бесконечно удаленная точка на числовой
прямой Ох.

Число А называется конечным пределом функции в точке х = а (или при ), если для любого числа , сколь малым бы оно ни было, можно указать такую окрестность U(a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Предел функции обозначается так: , или при .

Определение конечного предела при можно записать символически следующим образом:

. (*)

Геометрически существование конечного предела в случае, когда , означает, что значения функции сколь угодно мало отличаются от числа А, если значения аргумента становятся достаточно близкими к точке (рис. 1). При этом в самой точке а функцияможет быть не определена или определена, но может иметь значение, отличное от А.

Поведение функции только слева или только справа от точки , т. е. в ее левой или правой окрестности, характеризуется ее односторонними пределами (рис. 2): левосторонний предел функции обозначается , где условие означет, что х остается левее точки а ( ); правосторонний предел функции обозначается , где условие означет, что х остается правее точки а (x ® a, x > a).

Рис. 1 Рис. 2

Существование предела означает, что существуют оба односторонних предела и они совпадают между собой:

.

Если существует конечный предел функции при : , то в его определении (*) U(a) – это окрестность бесконечно удаленной точки числовой прямой (рис. 3). При этом можно рассматривать односторонние пределы: или (рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4

Числовую последовательность обычно рассматривают как функцию натурального аргумента n: .

Если существует предел последовательности , то его определение можно записать символически:

,

т. е. члены последовательности сколь угодно мало отличаются
от числа А при достаточно больших номерах n (для n > n₀).