Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции.

Содержание программы

4.1. Понятие предела последовательности и его свойства.

4.2. Неопределенности. Вычисление пределов последовательностей. Формула числа е.

4.3. предел функции в точке и на бесконечности(по Гейне), его свойства.

4.4. Вычисление пределов.

4.5. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции, их свойства.

4.6. Неопределенности. Первый и второй замечательные пределы.

4.7. Непрерывность функции в точке.

Содержание темы

Число а называют пределом числовой последовательности {xn}, если Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Обозначается Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Число А Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru называется пределом функции f(x) в точке х0, если Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru такое, что Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru . Обозначается Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Свойства пределов:

Если существуют конечные пределы Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru и Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , то

1) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ,

2) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ,

3) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , если Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ,

4) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ,

5) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда подстановка предельного значения аргумента в выражение для f(x) приводит к одной из неопределенностей∞0, ∞ - ∞, 0 . ∞, ∞/∞, 0/0, 00, 1.

Чтобы раскрыть неопределенность вида 0/0, необходимо провести преобразования функции и сократить числитель и знаменатель дроби на выражение (х – х0).

Чтобы раскрыть неопределенность вида ∞/∞, необходимо числитель и знаменатель дроби сократить на аргумент в большей степени.

Чтобы раскрыть неопределенности вида ∞0, 0 . ∞ и др., необходимо первоначально привести их к виду 0/0 или ∞/∞.

Первый замечательный предел Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

И второй замечательный предел Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Пример 4.1. Вычислить пределы:

а) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , б) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ,

в) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , г) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru д) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Решение

а) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

б) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

в) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

г)

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

д) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru =

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

Функция Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru непрерывна в точке Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , если предельное значение этой функции в точке Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru существует и равно частному значению Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , или:

1) функция Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru определена в точке Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru и некоторой ее окрестности;

2) существует Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ;

3) Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Точка Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , в которой функция не обладает свойством непрерывности, называется точкой разрыва функции Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Точка Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru называется точкой устранимого разрыва, если Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru существует, но функция не определена в точке Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru или нарушено условие Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Точка Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru называется точкой разрыва I рода, если Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru не существует, но при этом существуют конечные односторонние пределы Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru и Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , неравные друг другу.

Точка Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru не существует или равен бесконечности.

Пример 4.2. Исследовать функцию Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru на непрерывность, определить характер разрыва.

Функция не определена в точках Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.

Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Так как левый предел в точке Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ;

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Так как правый предел в точке Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Пример 4.3. Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Функция неопределена в нуле, следовательно , Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru – точка разрыва.

Так как Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru и Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.

Контрольные вопросы

1. Что называют пределом числовой последовательности?

2. Что называют пределом функции в точке?

2. Какие вы знаете правила вычисления пределов?

3. Что представляют собой первый и второй замечательные пределы?

4. Как раскрывают неопределенность вида 0/0?

5. Как раскрывают неопределенность вида ∞/∞?

6. Как раскрывают неопределенности вида ∞0, 0 . ∞ и др.?

7. Что называется пределом последовательности?

8. Что называется пределом функции в точке?

9. Что называется левосторонним пределом функции в данной точке?

10. Что называется правосторонним пределом функции в данной точке?

11. Какая функция называется непрерывной в точка?

12. Какая функция называется непрерывной на отрезке?

13. Какая функция называется непрерывной?

14. Что называется точкой разрыва функции?

15. Какие бывают точки разрыва функции?

Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных

Содержание программы

5.1. Приращение аргумента и приращение функции. Понятие производной функции.

5.2. Физический и геометрический смысл производной.

5.3. Основные правила дифференцирования. Таблица производных. Нахождение производных по таблице и правилам дифференцирования.

5.4. Производная сложной функции.

5.5. Уравнение касательной е графику функции.

5.6. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке.

5.7. Правило Лопиталя.

5.8. Дифференциал первого порядка.

5.9. Производные высших порядков.

5.10. Монотонность и локальный экстремум функции.

5.11. Выпуклость, вогнутость и перегиб графика функции.

5.12. Понятие функции многих переменных.

5.13.Частные производные первого порядка функции многих переменных и дифференциал функции многих переменных.

5.14. Частные производные высших порядков.

Содержание темы

Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е. Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования:

Пусть С – постоянная, а u (x) и v (x) - дифференцируемые функции.

1. С / = 0.

2. (u + v) / = u / + v /.

3. (uv) / = u / v+ v /u.

4. (Cu) / = Cu /.

5. Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , v Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru 0.

Геометрический смысл производной: производная функции f (х) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой х0.

Физический смысл производной:мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

v(t) = s /(t) = Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru

Если у = g(и) , и = и(х) – функции своих аргументов, причем область определения функции g(u) содержит область значений u(x), то каждому х области определения функции u соответствует у такое, что у = g(и), и=и(х). Эта функция, определяемая соответствием

у = g(u(x)),

называется функцией от функции или сложной функцией (композицией функций).

Производная сложной функции у = g(u(x)). Если функция и = и(х) дифференцируема в точке х, а функция у = g(и) дифференцируема в соответствующей точке и = и(х), то сложная функция у = g(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная у/(x )= g/(x) . u / (x).

Таблица производных

1. (хn) / = nxn-1, 8. (loga x)/ = 1/xlnx,

2. (ax) / = ax ln a, 9. (ln x)/ = 1/x,

3. (ex) / = ex, 10. (arctg x)/ = 1/ (1 + x2),

4. (sin x) / = cos x, 11. (arcctg x)/ = - 1/ (1 + x2),

5. (cos x) / = - sin x, 12. (arcsin x)/ = 1/ Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru ,

6. (tg x) / = 1/cos2 x,

7. (ctg x) / = - 1/sin2 x, 13. (arccos x)/ = - 1/ Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Пример 5.1. Найти производную функции:

а) у = ех2 – 2х + 7),

б) у = sin (2x + 3),

в) у = (х3 + 3х2 – 1)13.

Решение

а) найдем производную данной функции, воспользовавшись формулой производной произведения двух функций:

у / = (ех)/2 – 2х + 7) + ех2 – 2х + 7)/ = ех2 – 2х + 7) + ех (2х – 2) = ех2 – 2х + + 7 + 2х – 2) = ех2 + 5),

б) найдем производную сложной функции:

у / = (sin (2x + 3))/ = cos (2x + 3) . (2x+ 3)/ = 2cos (2x + 3),

в) у/ = ((х3 + 3х2 – 1)13)/ = 13(х3 + 3х2 – 1)123 + 3х2 – 1)/ = 13(х3 + 3х2– 1)12 (3х2+ 6х)

Функция у = f (x) на некотором интервале задана неявно уравнением F (x; y) = 0, если для всех х из этого интервала

F (x, f(x)) = 0.

Для нахождения производной функции, заданной неявно, следует тождество F (x, f(x)) = 0 продифференцировать по х, рассматривая левую часть как сложную функцию от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно f /(x).

Пример 5.2.Найти производную функции у = f (x) , заданной неявно

уравнением x2 – 2x2y2 + 5x + y – 5 = 0.

Решение Дифференцируя по х обе части тождества, получим

2х – (4ху2 + 2х22уу/) + 5 + y/ = 0,

2х – 4ху2 - 4х2уу/ + 5 + y/ = 0,

y/ (1 – 4x2y) = 4xy2 – 2x – 5,

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Уравнение касательной к кривой Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru в точке Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru имеет вид:

Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru , где Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru -производная Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru при Тема 4. Предел последовательности и предел функции. Непрерывность функции. - student2.ru .

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

Наши рекомендации