Связь понятий предел функции и предел последовательности

Между понятиями «предел функции» и «предел последовательности» существует связь, которая дается нижеследующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности , у которой выполнялось условие .

Доказательство.

Необходимость. Пусть .Это значит, что

.

Возьмем любую последовательность у которой . Это значит, что

.

(Обратите внимание, какая буква написана после квантора " и где стоит эта же самая буква в предыдущей формуле!)

Совершим «прогулку» по этим выражениям по следующему маршруту:

"e > 0 ® $d >0 ® "d ® $N ® "n > N ® | x_n -a |<d ® | x - a|<d ® | f(x) - b | < e.

Оставляя только подчеркнутые куски и заменяя в последних выражениях х на х_n, получим

,

что и говорит о том, что .

Достаточность. Докажем достаточность методом «от противного».

Прежде всего напомним, как пишется противоположное утверждение для строчки кванторов. Здесь действует следующее правило: чтобы написать противоположное утверждение, надо сделать следующее:

1. заменить квантор " на квантор $, и наоборот, квантор $ на квантор ";

2. последнее утверждение заменить на противоположное.

А теперь приступим к доказательству. Итак

Надо доказать:

.

Противоположное утверждение имеет вид

.

Сведем это утверждение к противоречию.

Берем то e > 0, которое «существует». Далее, возьмем последовательность такую, что

, .

Тогда, согласно противоположному утверждению,

для d₁ существует х₁ такое, что , но ;

для d₂ существует х₂ такое, что , но ;

для d₃ существует х₃ такое, что , но ;

и вообще

для d_n существует х_n такое, что , но .

В результате получается некоторая последовательность . Что хорошего можно о ней сказать?

1. так как, по построению "n и , то ;

2. но "n . Поэтому ! (Заметим, что этот предел может и вообще не существовать).

Но это противоречит условию «для любой последовательности», которое стоит в формулировке теоремы. Это и доказывает достаточность. <

2.13 Свойства предела функции

Предельное значение функции обладает теми же свойствами, что и пределы последовательности, в частности

1.

2.

3.

4. если

5. Если и , то в некоторой окрестности ограничена

6. Если то .

Докажем, например, свойство 3. Берем любую последовательность у которой .Для нее верно соотношение

.

Но так как это верно для любой последовательности с указанным свойством, то, по только что доказанной теореме, верно и свойство

.

Остальные свойства доказываются аналогично.

2.14 Предел монотонной функции

Определение. Функция называется

- монотонно возрастающей, если из

- строго монотонно возрастающей, если из

- монотонно убывающей, если из

- строго монотонно убывающей, если из .

Докажем одну из возможных здесь теорем.

Теорема. Если монотонно возрастает и ограничена сверху при , то существует конечный предел слева .

Доказательство.

Рассмотрим множество значений функции при . По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, то есть . По теореме о существовании супремума отсюда следует, что существует конечный .

Покажем, что . По свойствам супремума

1. ;

2. .

Обозначим . Возьмем любое , для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности ,

а) ,

б) .

Поэтому имеем

Выбрасывая лишнее, получим, что

или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что . <

Аналогичные теоремы можно сформулировать и доказать также для монотонно убывающих функций, а так же для пределов слева.

2.15 Признак Больцано-Коши для функции

Теорема. Для того, чтобы существовал конечный предел необходимо и достаточно чтобы

.

Доказательство.

Необходимость. Пусть существует конечный предел . Это значит, что

.

Но тогда имеем

что и сказано в условии теоремы.

Достаточность. Достаточность будем доказывать сводя этот признак к случаю признака Больцано-Коши для последовательности.

1. Сведение к пределу последовательности

Итак, пусть

Возьмем любую последовательность , сходящуюся к а, то есть у которой . Это значит, что

.

Но тогда будут выполнены условия , и получится, что . Итак, получилось, что

.

По признаку Больцано-Коши для последовательности, отсюда следует, что существует конечный .

2. Независимость от выбора последовательности.

Возникающая здесь трудность заключается в том, что значение предела b может зависеть от выбора последовательности . Покажем, что этого не может быть.

Пусть имеется последовательность для которой также верно, что , но .

Составим «cмешанную» последовательность вида

.

Так как и и то ясно, что . Тогда теми же рассуждениями, что и в п. 1 показывается, что существует .

Но и и есть подпоследовательности последовательности , а как показано выше, любая подпоследовательность сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность. Поэтому

отсюда и следует, что .

Независимость от вида последовательности и говорит о том, что . <

2.16 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при если .

Пусть имеются две бесконечно малые величины и . Тогда возможны следующие варианты:

1. Существует и .

В этом случае говорят, что бесконечно малые величины и имеют одинаковый порядок малости и обозначают это так: или, что то же самое, (символ читается «О большое»)

2. или, что то же самое, .

В этом случае говорят, что имеет более высокий порядок малости, чем и обозначают это так: (символ « » читается «о малое»)

3. не существует.

В этом случае говорят, что бесконечно малые и несравнимы.

Для стандартизации вводят стандартную бесконечно малую величину . Пусть при некотором существует и . В этом случае говорят, что является бесконечно - малой -го порядка и записывают это так

.

Выражение называют главным членом .

Определение. Функция называется бесконечно большой при если .

Пусть и две бесконечно большие величины. Тогда возможны следующие варианты.

1. Существует , и .

В этом случае говорят, что и две бесконечно большие одного порядка.

2. или, что то же самое, .

В этом случае говорят, что является бесконечно большой более высокого порядка, чем .

3. не существует.

В этом случае говорят, что бесконечно большие и несравнимы.

В качестве стандартной бесконечно большой величины берут . Пусть при некотором существует , и . В этом случае говорят, что является бесконечно большой -го порядка и записывают это так: . (Знак ~ читается «асимптотически равно»).