Предел переменной величины. Предел последовательности.

Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной х, становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Говорят, что переменная величина стремится, неограниченно приближается к постоянному числу а (своему пределу). Дадим более подробно соответствующее определение.

Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..

То же самое определение можно сказать и другими словами.

Определение.Постоянное число а называется пределом переменной величиных , если Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru - абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой.

Тот факт, что число а, является пределом переменной величины, записывается следующим образом:

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru ( Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru - первые буквы слова limes - предел) или х —> a

Уточним, что следует понимать под словами "величина Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru становится сколь угодно малой", имеющимися вопределении предела. Зададимся произвольным положительным числом Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , тогда, если, начиная с некоторого момента в изменении переменной величины х, значения Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru сделаются, и будут становиться меньше, чем это Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Переменная величина Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru стремится к пределу Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , если для любого положительного Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru . начиная с некоторого момента в изменении переменной Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , выполняется неравенство Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru означает, что Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru находится в Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru -окрестности точки Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , т.е. в интервале Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru (рис. 26). Таким образом, определение предела в геометрической форме: число Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru является пределом переменной величины Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , если для любой (произвольно малой) Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru -окрестности точки Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru можно указать такой момент в изменении переменной Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru начиная с которого все ее значения
попадают в указанную Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru -окрестность точки a.

 

Необходимо представлять себе процесс приближения к пределу в динамике. Взяли некоторую Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru - окрестность точки a; начиная с некоторого момента в изменении Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , все значения Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru попадают в эту окрестность. Теперь возьмем более тесную Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru - окрестность точки a Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru ; начиная с некоторого (более отдаленного в сравнении с первым) момента в изменении Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , все ее значения попадут в Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru - окрестность точки а и т.д. (рис. 1).

       
    Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru
  Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru
 

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru

рис. 1

Введя определение предела переменной величины, мы постарались его подробно обсудить и расшифровать. Однако в этом определении осталась нераскрытой одна, весьма существенная, деталь; что следует понимать под словами "начиная с некоторого момента в изменении переменной величины Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru "? Это ясно тогда, когда процесс изменения переменной протекает во времени: начиная с некоторого момента (времени). Но не всегда мы имеем дело с переменными величинами, изменение которых протекает во времени. Как же быть в этих случаях? Выход состоит в расшифровке этого места в общем определении предела переменной специфическим образом для каждого типа переменных величин: по-своему для последовательностей, по-своему для функций и т.д.

Предел последовательности.Прежде всего необходимо вспомнить определение последовательности: если все значения, принимаемые переменной величиной х, можно занумеровать помощью всевозможных натуральных чисел х}2,...хп,..., причем значение с большим номером принимается после значения с меньшим номером, то говорят, что переменная х пробегает последовательность значений хх2,...хп ...; или просто, что имеется последовательность (числовая последовательность).

Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru =N и ЕÌR.

Она обозначается символом Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , где Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , или короче, Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru . Число Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , зависящее от n, называется n –ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Примеры:

а) Последовательность Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru является постоянной и состоит из равных чисел (единиц): Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru ;

б) Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru . Для неё Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru

в) Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru

г) Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Для последовательностей содержащееся в общем определении предела переменной высказывание "начиная с некоторого момента в изменении Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru " должно означать - "начиная с некоторого номера", так как члены с большими номерами следуют (по определению последовательности) за членом с меньшим номером. Итак, мы получаем следующее определение предела последовательности:

Определение. Число а называется пределом последовательности Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , если для любого числа Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru найдётся число Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , что все числа Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , у которых Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , удовлетворяют неравенству Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Соответствующее обозначение

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Неравенство Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru можно также записывать в виде Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru или Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru . В этих записях подчеркнуто, что величина хп становится сколь угодно мало отличимой от a , когда номер члена Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru неограниченно возрастает. Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru -окрестности числа анайдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N, номерами попадают в эту окрестность, вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 2). Это все или некоторые из членов Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

 
  Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru

x1 x2 Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru xN+1 a xN+2 Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru xN x3

Рис. 2

Число Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru в нашем определении зависит от Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru : N = N( Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru ) . Как говорилось ранее, определение предела следует понимать в развитии, вдинамике, в движении: если мы возьмем другое, меньшее значение для Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , например Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru то найдется, вообще говоря, другой номер Nx > N, такой, что неравенство Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , выполняется при всех Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Будем записывать определение предела с помощью логических символов (кванторов). Определение предела последовательности с помощью кванторов выглядит так:

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru

В рассмотренных выше примерах предел имеют последовательности а) и г), а последовательности б) и в) пределов не имеют.

Пример.Доказать, что Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Зададим произвольное Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru . В соответствии с определением мы должны найти такое число Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , что Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru выполняется неравенство Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Решим это неравенство относительно Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru . Получим Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru . В качестве Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru берем любое целое Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru больше Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Итак, для произвольного Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru найдено число Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru , что Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru выполняется неравенство

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru

Рис. 3

Это и означает по определению, что (Рис. 3) Предел переменной величины. Предел последовательности. - student2.ru .

Предел функции

Наши рекомендации