Предел числовой последовательности. Предел функции

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана числовая последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

Общий элемент последовательности является функцией от n:

xn = f(n).

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция (целочисленного аргумента).

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. 1) {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …;

2) {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4) Частное последовательностей: Предел числовой последовательности. Предел функции - student2.ru при {yn} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

Предел числовой последовательности. Предел функции - student2.ru

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn £ M.

Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ³M.

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Предел числовой последовательности. Предел функции - student2.ru Это записывается:

Предел числовой последовательности. Предел функции - student2.ru .

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

Если отбросить какое - либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Предел функции

Предел функции в точке

yf(x)

A + e

A

A - e

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) (см. рис.).

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде: если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Предел числовой последовательности. Предел функции - student2.ru

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то Предел числовой последовательности. Предел функции - student2.ru называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то Предел числовой последовательности. Предел функции - student2.ru называется пределом функции f(x) в точке х = а справа (см. рис. ниже).

у

f(x)

А2

А1

0 a x

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Наши рекомендации