Предел последовательности. Предел функции.

Числовой последовательностью называется функция Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , определенная на множестве натуральных чисел Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Последовательность называется возрастающей, если для любого номера n выполняется Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Последовательность называется убывающей, если для любого номера n выполняется Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru называется ограниченной сверху, если существует действительное число Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru такое, что для Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Последовательность Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru называется ограниченной снизу, если существует действительное число Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru такое, что для Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Число a называется пределом последовательности Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , если для любого числа Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru существует номер N такой, что для всех Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru выполняется неравенство Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

В этом случае пишут Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Свойства последовательностей имеющих предел:

Последовательность имеющая предел ограниченна

Последовательность может иметь только один предел.

Последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

Любая возрастающая (убывающая) и ограниченная сверху (снизу) числовая последовательность имеет предел.

Число Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru называется пределом функции Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru при Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru

если для Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Число Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru называется пределом функции Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru при Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru если для Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Если определения не выполняются, то предел не существует. Если функция неограниченно возрастает при изменении аргумента, то пишут Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru и называют бесконечно большой величиной

Функция Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru называется бесконечно малой величиной при Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , если Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , т.е. " e> 0 $ d> 0: Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Основные свойства бесконечно малых величин.

Если Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru являются бесконечно малыми, то Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru также есть бесконечно малая величина.

Функция f(x) называется ограниченной при Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , если Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Произведение ограниченной при Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru функции на бесконечно малую есть бесконечно малая величина.

Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая величина.

Произведение двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Если Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru является бесконечно малой величиной, то Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru является бесконечно большой величиной.

Если Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru – бесконечно большая величина, то Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru – бесконечно малая величина.

Основные теоремы о пределах.

Если функция имеет предел, то ее можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой величины.

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , где Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru – б.м.в. при Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Если существует предел функции, то он единственный.

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru . Предел константы равен самой константе.

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Если в некоторой окрестности точки Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru выполняется Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , то Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Если в некоторой окрестности точки Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru выполняется Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru и Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , то Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Замечательные пределы.Непрерывность функций.

Первый замечательный предел Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Следствия из первого замечательного предела.

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Второй замечательный предел.

Предел последовательности Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Для функции непрерывного аргумента "xÎR Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru или Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Следствия из второго замечательного предела.

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru или Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Пусть a(x) и b(x) две бесконечно малые величины при x®a.

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru a(x) и b(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. Обозначение a(x)~b(x) при x®a.

Если существует предел отношения двух бесконечно малых a(x) и b(x), то он равен пределу отношения соответствующих им эквивалентных бесконечно малых.

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин при условии Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ;

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ;

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ;

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru ; Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Пусть функция определена на интервале [a; b] и x, x0Î[a; b].

Обозначим Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , тогда Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru называется приращением аргумента. Приращением функции соответствующим данному приращению аргумента назовем разность Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Функция называется непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru .

Другое определение непрерывности функции: Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru

Функция непрерывная в каждой точке интервала (a;b) называется непрерывной на этом интервале.

Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Точки разрыва функции.

Определяя понятие предела функции Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , подразумеваем, что Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru и Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru . Такие пределы называются односторонними (левый и правый). Таким образом, функция непрерывна в точке Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , если выполняются условия: функция Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru определена в точке Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru и

Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru . Если одно из этих условий нарушено, то функция имеет разрыв в указанной точке.

а) Если Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , а функция неопределенна в точке Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , то такой разрыв называется устранимым. Его можно устранить, доопределив функцию.

б) Если существуют Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru и Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru , но они не равны между собой, то точка Предел последовательности. Предел функции. - student2.ru называется точкой разрыва первого рода.

Все прочие точки разрыва называются точками разрыва второго рода.

Литература

1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов: [в 2 т.]. Т. 1 / Н. С. Пискунов. - Изд. стер. - М.: Интеграл-Пресс, 2009. - 544 с.: ил.

2. . Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии : учебник для вузов / Н. В. Ефимов . - Изд. 13-е, стер. - М. : ФИЗМАТЛИТ , 2005 . - 238 с.

3. Шипачев, В. С. Высшая математика : Базовый курс: учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев . - 8-е изд., перераб. и доп. - М. : Юрайт , 2011 . - 447 с.

4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. - 416 с.

Содержание

1. Введение ……………………………………………3

2. Задания контрольных работ………………………..3

3. Разбор заданий контрольной работы № 1………..14

4. Разбор заданий контрольной работы № 2………..21

5. Разбор заданий контрольной работы № 3………..26

6. Справочный теоретический материал…………….31

7. Литература………………………………………….54

Наши рекомендации