Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел.

351. Понятие функции.

Пусть Х и Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru – два произвольных множества действительных чисел, т.е. Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru и Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru . Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие вполне определенный элемент у из множества Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , то говорят, что задана функция f. Для функции f используются следующие обозначения: Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Переменная х называется независимой переменной или аргументом функции, переменная у – зависимой переменной или функцией. Множество Х называют областью определения или областью существования функции f. Множество всех значений у, Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru ,называется областью значений функции.

Значение Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , что соответствует определенному аргументу Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru при функциональной зависимости Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , называют еще образом переменной Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru

Функция Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru каждому элементу области определения ставит в соответствие единственный элемент области значений.

Например, функция Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru определена на отрезке Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , т.е. областью определения является множество Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru . Множеством значений функции в данном случае является отрезок [0; 1], Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой С.

Функция f, определенная на множестве X, называется ограниченной, если Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru такое, что Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru . Например, функция Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru является ограниченной наПонятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , так как Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , функция Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru не является ограниченной на интервале Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , так как не существует числа Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru такого, чтобы Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Функция Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru называется возрастающей (убывающей) на множестве Х, если для любых значений Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru из этого множества выполняется неравенство Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru . Если же для любых Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru выполняется Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , то функция Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Х.

Функции всех указанных типов носят название монотонных. Такие функции часто встречаются в различных математических приложениях. Например, освещенность, меняющаяся по мере удаления от источника света, является монотонно убывающей функцией расстояния.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , т.е. координаты х и Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru точек графика связаны соотношением Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru . Например, графиком функции Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru является парабола. Естественно, что графиком функции не обязательно является «сплошная» кривая. В частности, графиком функции Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru будет бесконечное множество изолированных точек (постройте!).

Чтобы задать функцию, требуется указать правило: как по каждому значению аргумента х находить соответствующее значение функции Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru . Существуют три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

352. функции в точке и на бесконечности.

1.Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru за исключением, быть может, самой точки а. Возьмем последовательность точек Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru из этой окрестности, сходящуюся в точке а. Значения функции в точках последовательности, в свою очередь, образуют последовательность Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru

Число b называется пределом функции f в точке Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru (или при Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru ), если для любой последовательности Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru сходится к b.

Для обозначения предела функции f в точке Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru используется запись Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

2.Число b называется пределом функции Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru при Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , если для любой бесконечно большой последовательности Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru соответствующая последовательность значений функции Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru сходится к b и обозначается Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Аналогично определяется предел функции при Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru : Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru и при Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru

Рис. 3

353. Односторонние пределы.

В определении предела функции Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru считается, что х стремится к а любым способом: оставаясь меньше, чем а (слева от а) или больше, чем а (справа от а).

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к а существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.

Число b называется правым пределом (пределом справа) в точке Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , если для любой сходящейся к а последовательности Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , члены которой больше или равны а ( Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru ), соответствующая последовательность Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru сходится к b; обозначается: Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Аналогично, число b называется левым пределом (слева) в точке Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , если Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , соответствующая последовательность Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru сходится к b; обозначается: Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Правый и левый пределы функций в точке называются односторонними. В случае, когда Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , используются обозначения: Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Коротко предел слева и справа обозначают Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Очевидно, если существует Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , то существуют и оба односторонних предела, причем Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru совпадает с ними. Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , и они равны, то существует предел Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru и Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru . Если же Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru ¹ Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru , то Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru не существует.

354. Свойства функций, имеющих предел.

В приводимых ниже свойствах будем считать, что пределы Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru и Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru существуют.

Свойство 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Следствие 1. Функция может иметь только один предел в точке Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Свойство 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Следствие 2. а) Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

б) Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru

Свойство 3. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Понятие функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Свойства функций, имеющих предел. - student2.ru .

Наши рекомендации