Примеры для самостоятельного решения

Математические модели прикладных задач

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Движение материальной точки по прямой под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной отклонению от него, и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости движения точки, описывается дифференциальным уравнением

что следует из второго закона Ньютона. С учетом возбуждающей силы f(t) дифференциальное уравнение движения материальной точки принимает вид

При отсутствии сопротивления среды (а=0) и наличии периодической возбуждающей силы дифференциальное уравнение движения принимает вид

Общее решение однородного уравнения характеризует собственные колебания. Частное решение неоднородного уравнения

при характеризует вынужденные колебания материальной точки.

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой наложение свободных и вынужденных колебаний (принцип суперпозиции сил), т.е.

Если частота внешней силы близка к частоте k собственных колебаний, то амплитуда очень велика, вследствие чего может произойти разрушение всей колебательной системы. Это явление носит название резонанса. В чисто резонансном случае при общее решение уравнения имеет вид

При амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает.

С учетом сопротивления среды и при синусоидальной вынуждающей силе дифференциальное уравнение движения принимает вид

Общее решение однородного уравнения при и описывает собственные колебания и при стремится к нулю. Частное решение неоднородного уравнения при больших t описывает установившийся режим и соответствует вынужденным колебаниям.

Решение типовых примеров

Пример 1. Тело совершает 90 колебаний в минуту, амплитуда колебаний уменьшается вдвое в течение 15 с. Составить дифференциальное уравнение движения.

Решение. Так как тело совершает затухающие гармонические колебания, то закон движения имеет вид

где - частота колебаний, а период колебаний Из условия задачи следует, что одно колебание тело совершает за 60/90 с. Следовательно, Т=2/3 и Учитывая, что при t=0 амплитуда колебания равна А, а при t=15 с имеем и где А, -произвольные постоянные. Дифференциальное уравнение второго порядка, общим решением которого является x(t) и корни характеристического уравнения имеет вид

Пример 2. На идеально гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом (рис.12.1), находится груз массой m=1кг, прикрепленный к пружине, жесткость которой Определить закон колебаний груза, если он отпущен без начальной скорости из положения, при котором пружина не деформирована.

Решение. На рис. 12.1 ось Ох совпадает с направлением движения груза вдоль наклонной плоскости, за начало координат выбрана точка статического равновесия. Сила упругости пружины где -изменение длины пружины по сравнению с ее естественным (ненапряженным) состоянием: l-удлинение пружины при равновесии. Обозначим через длину пружины до деформации. Так как на систему, кроме силы упругости, действует еще вес груза где то дифференциальное уравнение движения

В точке х=0 имеет место равновесие, то есть при этом Из предыдущего уравнения имеем следовательно, т.е. дифференциальное уравнение закона движения груза не зависит от статического удлинения пружины. Учитывая, что в начальный момент времени t=0 пружина была не деформирована и груз был отпущен без начальной скорости, математическую модель движения груза запишем в виде

где или

Используя данные задачи, имеем Следовательно, амплитуда колебаний А=0,1см, а период колебаний

Примеры для самостоятельного решения

12.1.1. Проинтегрировать уравнение

а) в случае свободных колебаний в среде без сопротивления; найти период и частоту колебаний;

б) в случае вынужденных колебаний в среде без сопротивления при наличии синусоидальной вынуждающей силы с нулевой начальной фазой;

в) в случае вынужденных колебаний в среде с сопротивлением при наличии синусоидальной вынуждающей силы с нулевой начальной фазой;

г) в случае отсутствия внешней силы; выделить случай затухающих гармонических колебаний.

12.1.2.При каком условии относительнообщее решение уравнения не будет иметь векового члена? (Указание. В небесной механике вековым членом называется выражение, имеющее вид произведения периодической функции и степени независимой переменной.)

12.1.3.При каких значениях k общее решение уравнения не имеет векового члена? (См. указание к задаче 12.1.2)

12.1.4. При каких значениях k и общее решение имеет вековой член? (См. указание к задаче 12.1.2)

12.1.5.При каких значениях k и уравнение имеет хотя бы одно периодическое решение?

12.1.6.Показать, что частное решение уравнения представляет колебания с неограниченно возрастающей амплитудой.

12.1.7.Найти периодические решения уравнения

12.1.8.Качка корабля описывается дифференциальным уравнением

где а, b, h, k, - постоянные, - наклон корабля в момент времени t. Проинтегрировать уравнение. Исследовать наличие установившегося режима и найти в этом режиме наибольшее отклонение корабля от положения равновесия.

12.1.9. Если ось вала турбины расположена горизонтально и центр масс диска, насаженного на вал, не лежит на оси, то прогиб у (рис. 12.2) оси вала при его вращении удовлетворяет уравнению

где m-масса диска; -постоянная, зависящая от способа закрепления концов А и В; - постоянная угловая скорость; g- ускорение свободного падения; -эксцентриситет центра масс диска. Найти общее решение этого уравнения.

12.1.10.Равновесный размер популяции некоторого вида в заданной среде оценивается в 1000 особей. Численность популяции испытывает флуктуации около этого среднего значения и описывается уравнением где x=x(t) – численность популяции в момент t (в годах). Найти численность популяции спустя 6, 12 и 18 месяцев, если в начальный момент времени популяция состояла из 1500 особей. Начальная скорость изменения численности равна нулю.

12.1.11.В эксперименте с голоданием масса испытуемого за 30 дней уменьшилась с 56 до 44 кг. Ежедневная потеря массы, согласно наблюдениям, пропорциональна массе испытуемого. Найти закон изменения массы как функции времени. Определить массу испытуемого после 15 дней голодания.

12.1.12.При большой скорости вращения тонкого длинного вала длиной l с закрепленными концами под действием центробежной силы происходит искривление его формы. Прогиб вала у в зависимости от абсциссы х удовлетворяет уравнению где m-масса единицы длины вала; -угловая скорость вала; Е-модуль Юнга; I-момент инерции поперечного сечения вала относительно оси. Определить критическую угловую скорость вала, то есть скорость, при которой изменяется форма вала, если на закрепленных его концах изгибающие моменты и прогибы равны нулю.

12.1.13.Составить уравнение движения и найти период свободных колебаний груза массой m, подвешенного к пружине, если движение происходит без сопротивления.

12.1.14.Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массой m. При движении груза со скоростью сила сопротивления среды равна h , а сила упругости пружины пропорциональна отклонению от положения равновесия и равна kx. При t=0 грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость . Составить математическую модель движения и исследовать закон движения.

12.1.15.Материальная точка массой 1 г отталкивается вдоль прямой от некоторого центра с силой, пропорциональной расстоянию от нее до этого центра, коэффициент пропорциональности равен четырем. Сопротивление среды пропорционально скорости движения, коэффициент пропорциональности равен трем. В начале движения расстояние от центра до точки равно 1 см, а скорость – нулю. Найти закон движения точки.

12.1.16.Материальная точка массой m движется по прямой под действием силы модуль которойпропорционален отклонению материальной точки от положения равновесия, и силы сопротивления среды модуль которой пропорционален скорости движения материальной точки. Начальное отклонение материальной точки равно начальная скорость Составить математическую модель закона движения. Выделить случаи: движения без колебания; гармонических колебаний; затухающих гармонических колебаний.

12.1.17.Тело массой1 кг подвергается действию силы упругости, стремящейся вернуть его в положение устойчивого равновесия. Сила пропорциональна смещению и равна 2 Н при смещении в 1 м. Сопротивление среды пропорционально скорости. Амплитуда после трех колебаний уменьшается в 10 раз. Составить уравнение движения и найти период колебаний.

12.1.18.Материальная точка массой m притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Коэффициент пропорциональности равен k. Расстояние между центрами 2b. В начальный момент точка находится на линии соединения центров на расстоянии а от ее середины. Начальная скорость равна нулю. Найти закон движения точки.

12.1.19.К пружине подвешен груз. Статическое удлинение пружины равно l. Построить математическую модель и найти закон колебаний груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния до длины 3l, а груз был отпущен без начальной скорости. Определить частоту собственных незатухающих колебаний и их период.

12.1.20. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна увеличению ее длины и равна 10 Н, когда длина увеличивается на 1см. К пружине подвешен груз массой 2 кг. Составить дифференциальное уравнение движения и найти период колебательного движения груза при условии, что он был слегка оттянут вниз и затем отпущен.

12.1.21.Статические удлинения пружины под действием двух грузов равны соответственно и .Определить частоту свободных незатухающих колебаний и их период, если к концу пружины подвесить оба груза. Составить предварительно дифференциальное уравнение движения и найти закон движения.

12.1.22.Статическое удлинение пружины под действием данного груза равно 20 см. В момент груз, находясь в положении равновесия, получил начальную скорость и стал совершать незатухающие колебания с амплитудой, равной 4 см. Определить закон движения груза и начальную скорость, принимая ускорение свободного падения g равным

12.1.23.Груз массой 100 г подвесили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости. Длина недеформированной пружины равна 65 см, а при равновесии груза на пружине ее длина равна 85 см. Составить математическую модель движения и определить закон движения груза, амплитуду и период колебаний, наибольшую силу упругости пружины, учитывая, что

12.1.24.На вертикально расположенной пружине подвешены два равных груза, в результате чего она удлинилась на l. После этого один из грузов оборвался. Составить математическую модель движения второго груза, найти закон его движения, пренебрегая массой пружины.

12.1.25.Два одинаковых груза подвешены на пружине. Составить математическую модель и найти закон движения одного из этих грузов при условии, что второй груз оборвется. Удлинение пружины за счет одного груза равно а.

12.1.26. Тело массой m подвешено на пружине с жесткостью с. При вертикальном движении тела на него действует сила сопротивления среды Составить математическую модель и определить закон движения тела, если оно в начальный момент имело скорость направленную вниз, удлинение пружины было равно а.

12.1.27. Статическое удлинение пружины под действием груза массой m равно l. На колеблющийся груз действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости Определить наименьшее положительное b, при котором процесс движения будет апериодическим.

12.1.28. Используя уравнение задачи 12.1.27, определить уравнение движения груза, если в начальный момент он находился в положении равновесия и имел скорость направленную вниз.

12.1.29. Материальная точка массой m совершает затухающие колебания под действием силы упругости пружины, коэффициент жесткости которой с, и силы сопротивления среды где Путем демпфирования (изменения силы сопротивления среды) значение коэффициента изменено до такого значения что частота колебаний точки уменьшилась вдвое. Найти

12.1.30. Используя условие задачи 12.27, найти значение при котором частота колебаний точки увеличится вдвое, и установить условие, при котором это возможно.

12.1.31. Груз массой m подвешен на пружине с жесткостью с. На него действуют возмущающая сила направленная вдоль вертикали х, и сила сопротивления среды Составить дифференциальное уравнение движения груза. Определить амплитуду А вынужденных колебаний груза, если

12.1.32.Пружина скреплена со штоком поршня, который находится в камере (рис. 12.3). В эту камеру попеременно сверху и снизу поступает свежий воздух, вследствие чего сила, действующая на поршень, изменяется по закону

(t – время, с; F – сила, H). Составить дифференциальное уравнение и определить вынужденные колебания поршня, если его масса m=0,5 кг, а жесткость пружины с=200 Н/м.

12.1.33.На груз массой m=1кг, подвешенный на пружине с жесткостью с=1600 Н/м, действует возмущающая сила с амплитудой 100 Н и частотой, равной частоте свободных незатухающих колебаний. Во избежание резонанса к грузу подсоединяют демпфер, создающий силу сопротивления, пропорциональную скорости движения груза; коэффициент пропорциональности k. При каком значении k амплитуда вынужденных колебаний не превысит 5 см? Массой демпфера пренебречь.

12.1.34. Цилиндрический чурбан радиусом 3 м и массой 81 кг стоит вертикально в воде. Составить дифференциальное уравнение движения, найти период колебания, которое произойдет, если немного приподнять чурбан и затем отпустить его. Масса воды равна 1 т.

(Указание. где F-сила, выталкивающая чурбан (определяется законом Архимеда)).

12.1.35.Бочка массой m=4 т находится на поверхности воды, уровень которой в месте нахождения бочки изменяется вследствие волнения по закону (t - в секундах, s - в метрах). Считая площадь горизонтального сечения постоянной и равной определить вертикальные колебания бочки относительно уровня спокойной воды, если плотность воды В начальный момент бочка находилась в положении статического равновесия при спокойной воде и скорость ее была равна нулю. Сопротивлением воды пренебречь. (Указание. Возмущающая сила