Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru на отрезке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru на отрезке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Задача №3

Найти экстремумы и интервалы монотонности функций.

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Задача №4

Найти асимптоты следующих кривых.

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Задача №5

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций.

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
4) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Задача №6

Построить графики функций.

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Задача №7

Найти частные производные Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru следующих функций.

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Задача №8

Найти в точке A градиент функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и производную по направлению вектора Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Задача №9

Найти экстремумы функции двух переменных: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Решение задачи №1

Сначала находим производную Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru в произвольной точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , а затем производим вычисления в конкретной точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , соблюдая следующий порядок действий:

  • находим значение Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • находим производную Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • подставляя найденные значения в уравнения касательной и нормали (20) и (21), получаем нужные уравнения касательной и нормали.

1) Имеем: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Для точки с абсциссой в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru находим:

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение касательной;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru находим:

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение касательной;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru находим:

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение касательной;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение нормали.

2) Имеем: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Для точки с абсциссой в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru находим:

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение касательной;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru находим:

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение касательной;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение нормали.

Для точки с абсциссой в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru находим:

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение касательной;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – уравнение нормали.

Решение задачи №2

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru на данном отрезке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru могут достигаться в критических точках функции (т.е. в точках, в которых Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru или Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru не существует) или на концах отрезка Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Порядок действий таков:

  • проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной;
  • ищем производную заданной функции (там, где она существует);
  • находим критические точки функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и выбираем из них те, которые принадлежат интервалу Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка; сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

1) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru на отрезке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Заданная функция является многочленом, а многочлен имеет производную в каждой точке прямой. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Вычисляем производную функции: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Находим критические точки: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Данному отрезку Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru принадлежит только точка Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Вычисляем значение функции в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и значения функции на концах заданного отрезка. Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции достигается в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и оно равно Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , а наибольшее значение функции достигается в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и оно равно 27.

2) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru на отрезке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Заданная функция является дробно-рациональной функцией, которая дифференцируема во всех точках, в которых знаменатель неравен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , которая не принадлежит отрезку Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Вычисляем производную функции: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Так как Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , то критических точек нет.

· наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в граничных точках отрезка: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Решение задачи №3

План исследования функции на экстремум с помощью первой производной таков:

  • находим область определения функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • находим Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ;
  • находим критические точки функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru (то есть те точки, в которых Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru или Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru не существует); пусть этими точками будут точки с абсциссами Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , которые расположены в порядке их возрастания;
  • разбиваем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru критическими точками на интервалы и внутри каждого интервала методом пробных точек находим знак Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; все действия оформляем в виде таблицы (см. примеры 21–25 из лекции 8);
  • используя теоремы 17 и 18 из лекции 8, определяем, на каких интервалах данная функция возрастает, на каких убывает, а также находим точки локального экстремума.

1) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Очевидно, что Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Производная существует на всей числовой оси. Вычисляем: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Решаем уравнение Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru : Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – критические точки.

· Все дальнейшие действия оформляем в виде таблицы:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru +
  Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru   Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    нет extr   min Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru  

Первая строка – это область определения функции, раздробленная на интервалы критическими точками. Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . В интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru возьмем, например, точку Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и получаем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; в интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru возьмем точку Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и получаем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; в интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru возьмем точку Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и получаем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru (вместо этих точек в каждом из интервалов можно взять любые другие точки – результат будет тот же самый). Полученную информацию заносим во вторую строку таблицы.

  • Применяя теорему 17, заключаем, что на интервалах Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru функция строго монотонно убывает, а на интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – строго монотонно возрастает. Используя теорему 18, приходим к заключению, что в критической точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru экстремума нет (как убывала функция до этой точки, так и убывает после нее); в критической точке Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru имеем локальный минимум. Полученные результаты заносим в третью и четвертую строки таблицы.

2) Рассмотрим функциюНайти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru : Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Составляем таблицу:
  Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    min Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru   max Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru  

Ясно, что Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – точка минимума, а Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – точка максимума, причем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

3) Рассмотрим функциюНайти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – критические точки.
  • Строим таблицу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru –3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru + +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    min Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru     max Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru  

Заметим, что мы не внесли в первую строку таблицы значение аргумента Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , так как оно не входит в Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Итак, получаем: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – точка минимума и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , а Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – точка максимума, причем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

4) Рассмотрим функциюНайти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – критические точки.
  • Строим таблицу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru + +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru -4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    max Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru     min Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru  

Итак, Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – точка максимума и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – точка минимума и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

5) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , так как логарифм существует только для положительных значений аргумента.
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – критическая точка.
  • Строим таблицу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    min Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru  

Решение задачи №4

1) Функция Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ruесть несократимая дробно-рациональная функция (т.е. ее числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). По теореме 21 из лекции 9 каждый корень Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ее знаменателя порождает вертикальную асимптоту Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Имеем: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Таким образом, Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — вертикальная асимптота графика функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

По той же теореме 21 правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты дробно-рациональной функции совпадают и вычисляются по формуле Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , где Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru (формулы (29)-(30) в лекции 9). Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Таким образом, Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — наклонная асимптота графика функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru (на самом деле эта асимптота является горизонтальной, так как прямая Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru параллельная оси Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ).

2) Эта задача решается точно так же, как предыдущая. Приравниваем знаменатель рассматриваемой функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru к нулю: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Имеем две вертикальные асимптоты: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Далее, Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Таким образом, прямая Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru (т.е. ось Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ) является наклонной (горизонтальной) асимптотой функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

3) Знаменатель функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru не имеет корней, поэтому эта функция не имеет вертикальных асимптот.

Найдем наклонную асимптоту. Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Получаем наклонную асимптоту Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

4) Функция Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ruне является дробно-рациональной, поэтому нахождение ее вертикальных и наклонных асимптот следует производить непосредственно по формулам (28)–(30). Эта функция определена Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Сначала будем искать вертикальные асимптоты. Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , следовательно, по теореме 19 прямая Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru является правосторонней вертикальной асимптотой;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , следовательно, по теореме 19 прямая Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru не является левосторонней вертикальной асимптотой.

Теперь будем искать наклонные (правосторонние и левосторонние) асимптоты. Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , следовательно, по теореме 20 прямая Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru является наклонной (горизонтальной) правосторонней асимптотой;

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , следовательно, по теореме 20 прямая Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru является наклонной (горизонтальной) левосторонней асимптотой.

Решение задачи №5

Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости функции производится по той же схеме, что и нахождение точек локального экстремума и интервалов монотонности, только здесь вместо первой производной используется вторая производная (см. лекцию 10).

1) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

· Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — точка, подозрительная на перегиб.

· Строим таблицу:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    перегиб  

Поясним построение таблицы. Ясно, что на интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru выполняется неравенство Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , а на интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — неравенство Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Поэтому по теореме 23 на первом интервале функция строго выпукла вверх, а на втором — строго выпукла вниз. Применяя теорему 26, получаем, что Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — точка перегиба.

2) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — точка, подозрительная на перегиб.
  • Строим таблицу:
  Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    перегиб  

3) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Строим таблицу:
  Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru + +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    перегиб   перегиб  

Рассмотрим функцию .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Составим таблицу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    перегиб  

Отметим, что для определения знака функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru на интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru может быть взята точка Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , а на интервале Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — точка Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Решение задачи №6

Под полным исследованием функции и построением графика понимается следующая последовательность действий:

  • нахождение Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — области определения функции;
  • определение интервалов возрастания и убывания и локальных экстремумов функции; построение соответствующих элементов графика;
  • определение асимптот графика функции; построение ветвей графика, уходящих на бесконечность;
  • исследование на выпуклость; уточнение поведения графика.

1) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Определяем интервалы возрастания и убывания функции и экстремум функции: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – критические точки.Составляем таблицу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru –2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru + +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    min Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru   max Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru   min Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru  
  • Переходим к определению асимптот графика. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет. По теореме 21 у многочлена степени выше первой наклонных асимптот также нет.
  • Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru –точки, подозрительные на перегиб.

Составляем таблицу:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru + +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
    перегиб   перегиб  
  • Построим теперь график функции:

2) Рассмотрим функцию Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

  • Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Определяем интервалы возрастания и убывания функции и локальные экстремумы функции: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru – критическая точка. Составим таблицу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru + +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru   –1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru   Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
      max Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru    
  • Переходим к определению асимптот графика. По теореме 21 вертикальные асимптоты порождаются корнями знаменателя дробно-рациональной функции. Таким образом, Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru — вертикальные асимптоты графика функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Точно так же, как в пунктах 1) и 2) задачи №4, показывается, что наклонная асимптота имеет вид Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .
  • Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru точек перегиба нет. Построим таблицу:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru + +
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru
  • Построим теперь график функции:

Решение задачи №7

Для того чтобы найти частную производную функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru по переменной Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , фиксируем переменную Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и дифференцируем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru как функцию одной переменной Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru . Наоборот, для того чтобы найти частную производную функции Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru по переменной Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru , фиксируем переменную Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru и дифференцируем Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru как функцию одной переменной Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru

Имеем:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru ; Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке - student2.ru .

Решение задачи №8

Наши рекомендации