Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке
1) на отрезке | 2) на отрезке |
Задача №3
Найти экстремумы и интервалы монотонности функций.
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
Задача №4
Найти асимптоты следующих кривых.
1) |
2) |
3) |
4) |
Задача №5
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций.
1) |
2) |
3) |
4) |
Задача №6
Построить графики функций.
1) | 2) |
Задача №7
Найти частные производные и следующих функций.
1) |
2) |
3) |
Задача №8
Найти в точке A градиент функции и производную по направлению вектора .
1) | 2) |
Задача №9
Найти экстремумы функции двух переменных:
Решение задачи №1
Сначала находим производную в произвольной точке , а затем производим вычисления в конкретной точке , соблюдая следующий порядок действий:
- находим значение ;
- находим производную ;
- подставляя найденные значения в уравнения касательной и нормали (20) и (21), получаем нужные уравнения касательной и нормали.
1) Имеем: .
Для точки с абсциссой в точке находим:
- ;
- ;
- – уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке находим:
- ;
- ;
- – уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке находим:
- ;
- ;
- – уравнение касательной;
– уравнение нормали.
2) Имеем: .
Для точки с абсциссой в точке находим:
- ;
- ;
- – уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке находим:
- ;
- ;
- – уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Для точки с абсциссой в точке находим:
- ;
- ;
- – уравнение касательной;
– уравнение нормали.
Решение задачи №2
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на данном отрезке могут достигаться в критических точках функции (т.е. в точках, в которых или не существует) или на концах отрезка . Порядок действий таков:
- проверяем, что заданная функция на данном отрезке является непрерывной;
- ищем производную заданной функции (там, где она существует);
- находим критические точки функции и выбираем из них те, которые принадлежат интервалу ;
- вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка; сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на .
1) Рассмотрим функцию на отрезке .
· Заданная функция является многочленом, а многочлен имеет производную в каждой точке прямой. По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .
· Вычисляем производную функции: .
· Находим критические точки: . Данному отрезку принадлежит только точка .
· Вычисляем значение функции в точке и значения функции на концах заданного отрезка. Имеем:
, , .
Сравнивая эти значения, заключаем, что наименьшее значение функции достигается в точке и оно равно , а наибольшее значение функции достигается в точке и оно равно 27.
2) Рассмотрим функцию на отрезке .
· Заданная функция является дробно-рациональной функцией, которая дифференцируема во всех точках, в которых знаменатель неравен нулю. Знаменатель обращается в нуль в точке , которая не принадлежит отрезку . По лемме 3 из лекции 6 данная функция непрерывна на отрезке .
· Вычисляем производную функции: .
· Так как , то критических точек нет.
· наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в граничных точках отрезка: ; .
Решение задачи №3
План исследования функции на экстремум с помощью первой производной таков:
- находим область определения функции ;
- находим ;
- находим критические точки функции (то есть те точки, в которых или не существует); пусть этими точками будут точки с абсциссами , которые расположены в порядке их возрастания;
- разбиваем критическими точками на интервалы и внутри каждого интервала методом пробных точек находим знак ; все действия оформляем в виде таблицы (см. примеры 21–25 из лекции 8);
- используя теоремы 17 и 18 из лекции 8, определяем, на каких интервалах данная функция возрастает, на каких убывает, а также находим точки локального экстремума.
1) Рассмотрим функцию .
· Очевидно, что .
· Производная существует на всей числовой оси. Вычисляем: .
· Решаем уравнение : , – критические точки.
· Все дальнейшие действия оформляем в виде таблицы:
– | – | + | |||
нет extr | min |
Первая строка – это область определения функции, раздробленная на интервалы критическими точками. Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой производной . В интервале возьмем, например, точку и получаем ; в интервале возьмем точку и получаем ; в интервале возьмем точку и получаем (вместо этих точек в каждом из интервалов можно взять любые другие точки – результат будет тот же самый). Полученную информацию заносим во вторую строку таблицы.
- Применяя теорему 17, заключаем, что на интервалах и функция строго монотонно убывает, а на интервале – строго монотонно возрастает. Используя теорему 18, приходим к заключению, что в критической точке экстремума нет (как убывала функция до этой точки, так и убывает после нее); в критической точке имеем локальный минимум. Полученные результаты заносим в третью и четвертую строки таблицы.
2) Рассмотрим функцию .
- .
- .
- : , .
- Составляем таблицу:
– | + | – | |||
min | max |
Ясно, что – точка минимума, а ; – точка максимума, причем .
3) Рассмотрим функцию .
- .
- .
- , – критические точки.
- Строим таблицу:
–3 | ||||||
– | + | + | – | |||
min | max |
Заметим, что мы не внесли в первую строку таблицы значение аргумента , так как оно не входит в . Итак, получаем: – точка минимума и , а – точка максимума, причем .
4) Рассмотрим функцию .
- .
- .
- , – критические точки.
- Строим таблицу:
+ | – | – | + | |||
-4 | ||||||
max | min |
Итак, – точка максимума и , – точка минимума и .
5) Рассмотрим функцию .
- , так как логарифм существует только для положительных значений аргумента.
- .
- – критическая точка.
- Строим таблицу:
– | + | ||
min |
Решение задачи №4
1) Функция есть несократимая дробно-рациональная функция (т.е. ее числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). По теореме 21 из лекции 9 каждый корень ее знаменателя порождает вертикальную асимптоту . Имеем: . Таким образом, — вертикальная асимптота графика функции .
По той же теореме 21 правосторонние и левосторонние наклонные асимптоты дробно-рациональной функции совпадают и вычисляются по формуле , где и (формулы (29)-(30) в лекции 9). Имеем:
, .
Таким образом, — наклонная асимптота графика функции (на самом деле эта асимптота является горизонтальной, так как прямая параллельная оси ).
2) Эта задача решается точно так же, как предыдущая. Приравниваем знаменатель рассматриваемой функции к нулю: Имеем две вертикальные асимптоты: и .
Далее, , . Таким образом, прямая (т.е. ось ) является наклонной (горизонтальной) асимптотой функции .
3) Знаменатель функции не имеет корней, поэтому эта функция не имеет вертикальных асимптот.
Найдем наклонную асимптоту. Имеем:
, .
Получаем наклонную асимптоту .
4) Функция не является дробно-рациональной, поэтому нахождение ее вертикальных и наклонных асимптот следует производить непосредственно по формулам (28)–(30). Эта функция определена . Сначала будем искать вертикальные асимптоты. Имеем:
, следовательно, по теореме 19 прямая является правосторонней вертикальной асимптотой;
, следовательно, по теореме 19 прямая не является левосторонней вертикальной асимптотой.
Теперь будем искать наклонные (правосторонние и левосторонние) асимптоты. Имеем:
, , следовательно, по теореме 20 прямая является наклонной (горизонтальной) правосторонней асимптотой;
, , следовательно, по теореме 20 прямая является наклонной (горизонтальной) левосторонней асимптотой.
Решение задачи №5
Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости функции производится по той же схеме, что и нахождение точек локального экстремума и интервалов монотонности, только здесь вместо первой производной используется вторая производная (см. лекцию 10).
1) Рассмотрим функцию .
· .
· .
· .
· — точка, подозрительная на перегиб.
· Строим таблицу:
– | + | ||
перегиб |
Поясним построение таблицы. Ясно, что на интервале выполняется неравенство , а на интервале — неравенство . Поэтому по теореме 23 на первом интервале функция строго выпукла вверх, а на втором — строго выпукла вниз. Применяя теорему 26, получаем, что — точка перегиба.
2) Рассмотрим функцию .
- .
- .
- .
- — точка, подозрительная на перегиб.
- Строим таблицу:
– | + | ||
перегиб |
3) Рассмотрим функцию .
- .
- .
- .
- , .
- Строим таблицу:
+ | – | + | |||
перегиб | перегиб |
Рассмотрим функцию .
- .
- .
- .
- .
- Составим таблицу:
– | + | ||
перегиб |
Отметим, что для определения знака функции на интервале может быть взята точка , а на интервале — точка .
Решение задачи №6
Под полным исследованием функции и построением графика понимается следующая последовательность действий:
- нахождение — области определения функции;
- определение интервалов возрастания и убывания и локальных экстремумов функции; построение соответствующих элементов графика;
- определение асимптот графика функции; построение ветвей графика, уходящих на бесконечность;
- исследование на выпуклость; уточнение поведения графика.
1) Рассмотрим функцию .
- .
- Определяем интервалы возрастания и убывания функции и экстремум функции: ; , , – критические точки.Составляем таблицу:
–2 | |||||||
– | + | – | + | ||||
min | max | min |
- Переходим к определению асимптот графика. Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет. По теореме 21 у многочлена степени выше первой наклонных асимптот также нет.
- Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:
; , –точки, подозрительные на перегиб.
Составляем таблицу:
+ | – | + | |||
перегиб | перегиб |
- Построим теперь график функции:
2) Рассмотрим функцию .
- .
- Определяем интервалы возрастания и убывания функции и локальные экстремумы функции: ; – критическая точка. Составим таблицу:
+ | + | – | – | ||
–1 | |||||
max |
- Переходим к определению асимптот графика. По теореме 21 вертикальные асимптоты порождаются корнями знаменателя дробно-рациональной функции. Таким образом, и — вертикальные асимптоты графика функции . Точно так же, как в пунктах 1) и 2) задачи №4, показывается, что наклонная асимптота имеет вид .
- Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:
точек перегиба нет. Построим таблицу:
+ | – | + | |
- Построим теперь график функции:
Решение задачи №7
Для того чтобы найти частную производную функции по переменной , фиксируем переменную и дифференцируем как функцию одной переменной . Наоборот, для того чтобы найти частную производную функции по переменной , фиксируем переменную и дифференцируем как функцию одной переменной .
1) .
Имеем:
; | . |
2) .
Имеем:
; | . |
3)
Имеем:
; | . |
Решение задачи №8