Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

ГЛАВА 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций, т.е. к характеристике поведения функции при изменении независимой переменной.

Возрастание и убывание функций

Согласно определению (п.1.12), функция Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru возрастает (убывает) на интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , если большему значению аргумента х из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции у.

Из определения следует, что для возрастающей функции приращение функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru и приращение аргумента Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru имеют одинаковые знаки, и следовательно, их отношение положительно, т.е.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Для убывающей функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru и Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru имеют противоположные знаки, в силу чего, отношение приращений отрицательно:

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Если функция в интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru дифференцируема, то, переходя в неравенствах к пределу при Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , получим:

− для возрастающей в интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru функции

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

− для убывающей в интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru функции

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Сформулируем необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема(необходимые условия).

Если дифференцируемая на интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru функция Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru возрастает (убывает), то ее производная Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru неотрицательна: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru (неположительна: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ) для всех Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Геометрически эта теорема означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы ( Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ) с положительным направлением оси Ох (рис. 5.1), а касательные к графику убывающей функции − тупые углы ( Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ) (рис. 5.2).

Теорема(достаточные условия).

Если функция Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru дифференцируема на интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru и ее производная положительна: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru (отрицательна: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ) для всех Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , то эта функция возрастает (убывает) на интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

 
  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru

Рис. 5.1

 
  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru

Рис. 5.2

Таким образом, изучение вопроса об участках возрастания или убывания дифференцируемой функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru сводится к исследованию знака первой производной этой функции.

Пример

Найти интервалы возрастания и убывания функции: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Функция определена на всей числовой оси.

Имеем Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Следовательно, функция возрастает (« ↑ ») в интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Функция убывает (« ↓ ») в интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Максимум и минимум функций

Особую роль в исследовании функций играют значения х, отделяющие интервал возрастания от интервала убывания или наоборот.

Определение.

Точка Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru называется точкой максимума (точкой минимума) функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , если в некоторой окрестности точки Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru выполняется неравенство

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Значение функции в точке максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции или экстремумом функции.

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема(необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru имеет экстремум в точке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , то ее производная в этой точке равна нулю:

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Геометрически условие означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru касательная к ее графику параллельна оси Ох (рис. 5.3).

 
  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru

Рис. 5.3

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е., если Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , еще не означает, что Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru − точка экстремума. Например, для функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ее производная Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru равна нулю при Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , но Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru не точка экстремума (рис. 5.4). Кроме того, функция может иметь экстремум в точке, в которой производная не существует. Например, непрерывная функция Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru производной в точке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru не имеет, но точка Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru − точка минимума
(рис. 5.5.).

 
  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru

Рис. 5.4 Рис. 5.5

Из этого следует, что непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Для того, чтобы выяснить в каких критических точках функция имеет экстремум устанавливают достаточные условия экстремума.

Теорема(первое достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru дифференцируема в некоторой окрестности критической точки Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru и при переходе через нее (слева направо) производная Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru меняет знак с плюса на минус, то Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru есть точка максимума; с минуса на плюс, то Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru − точка минимума.

Графическая иллюстрация теоремы приведена на рис.5.6.

 
  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru

Рис. 5.6

Замечание.

Если производная Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума (рис.5.7).

 
  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru

Рис. 5.7

Отыскания экстремумов функции обычно проводят по следующей схеме:

1) найти производную Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

2) найти критические точки, в которых Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru или Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru не существует;

3) исследовать знак Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru слева и справа от каждой критической точки и определить экстремум (максимум или минимум);

4) вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример

Найти экстремумы функции: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

1) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

2) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

3)

 
  Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru для Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; (« ↑ »);

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru для Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; (« ↓ »);

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru для Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; (« ↑ »);.

Значит, Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru − точка максимума, Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru − точка минимума;

4) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Иногда, исследование знака первой производной Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru слева и справа от критической точки вызывает затруднение. В этом случае такое исследование можно заменить определением знака второй производной Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru в самой точке. На этом основано второе достаточное условие экстремума.

Теорема(второе достаточное условие экстремума)

Если в точке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru первая производная функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru равна нулю: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , а вторая производная в точке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru существует и отлична от нуля: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , то при Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru в точке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru функция имеет максимум и минимум − при Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Пример

Найти экстремумы функции: Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

1) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

2) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

3) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

4) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Значит, Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru − точка минимума, Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru − точка максимума.

5) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Заметим, что второе достаточное условие экстремума имеет ограниченное применение по сравнению с первым, поскольку неприменимо к точкам, в которых производная не существует или Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

В прикладных задачах часто требуется найти не экстремумы изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Пусть функция Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru непрерывна на отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru . Тогда, согласно теореме (§3.5), функция достигает своего наибольшего или наименьшего значений либо во внутренней точке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru отрезка Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , либо на границе отрезка, т.е. при Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru =а или Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru =b. Если Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , то точку Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru следует искать среди критических точек данной функции.

Укажем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru :

1) найти критические точки функции на интервале Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

2) вычислить значения функции в критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , т.е. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru и Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

4) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее или наименьшее.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

1) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

2) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

3) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ; Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru ;

4) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке - student2.ru .

Наши рекомендации