Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru определена и непрерывна на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , то, согласно второй теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке принимает наибольшее и наименьшее значения.

Если свое наибольшее значение Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru функция Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru принимает во внутренней точке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru отрезка Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , т. е. когда Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , то Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru будет локальным максимумом функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . В этом случае существует окрестность точки Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru такая, что значения Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru для всех точек Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru из этой окрестности будут не больше Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru как в точках слева от точки Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , так и в точках справа от точки Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

Однако свое наибольшее значение Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru функция Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru может принимать и на концах отрезка Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

Поэтому, чтобы найти наибольшее значение Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru непрерывной на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , надо найти все максимумы функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru в интервале Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru и значения Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru на концах отрезка Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , т. е. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , и выбрать среди них наибольшее число.

Наименьшим значением Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru непрерывной на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru будет наименьшее число среди всех минимумов функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru в интервале Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru и значений Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

Замечание 1. Если в промежутке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , конечном или бесконечном, одна критическая точка и в ней максимум (минимум), то в ней наибольшее (наименьшее) значение.

Замечание 2. Если функция задана и непрерывна на некотором промежутке, не являющемся замкнутым, то среди значений функции на этом промежутке может не быть наибольшего и наименьшего.

Правило определения наибольших и наименьших значений функции на отрезке

1. Найти значения функции на концах отрезка: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

2. Определить критические точки первого рода.

3. Вычислить значение функции в критических точках первого рода (к.т.I): Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , где Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

4. Выбрать из значений Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru наименьшее Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru и наибольшее Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru значения функции.

Пример 18. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

▲ 1. Для вычисления функции в указанных точках используем схему Горнера:

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru так как данная функция четная, то Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

2. Найдем производную: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Она обращается в нуль в точках: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Все они лежат внутри отрезка Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

3. Вычислим значения функции в к.т.I. Имеем: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

4. Имеем множество значений функции на концах отрезка и в к.т.I: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Значит, наименьшее значение равно 4, наибольшее значение равно 13.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . ▼

Пример 19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

▲ 1. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

2. Найдем производную: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Производная в нуль не обращается Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Производная не существует Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

3. К.т.I совпадает с левой границей данного отрезка.

4. Имеем множество значений функции на концах отрезка и в к.т.I: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Значит, наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 8.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . ▼

Пример 20. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

▲ 1. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

2. Найдем производную: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Производная обращается в нуль в точке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Производная не существует Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , но обе эти точки не принадлежат данному отрезку.

3. Вычислим значения функции в к.т.I. Имеем: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

4. Имеем множество значений функции на концах отрезка и в к.т.I: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Значит, наименьшее значение равно 6, наибольшее значение равно 10.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . ▼

Пример 21. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru на промежутке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

2. Найдем производную: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Она обращается в нуль в точках Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

3. Вычислим значения функции в к.т.I. Имеем: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Так как данная функция нечетная, то Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

4. Поскольку Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , то наибольшее значение равно 0.5, наименьшее значение –0.5.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . ▼

Пример 22. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

▲ 1. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

2. Найдем производную: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Она обращается в нуль Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

Точка Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , т. е. к.т.I нет.

4. Имеем множество значений функции на концах отрезка: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Значит, наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . ▼

Пример 23. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

▲ 1. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

2. Найдем производную: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Если Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru , то

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

Из всех найденных критических точек только Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru принадлежат отрезку Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

3. Вычислим значения функции в к.т.I. Имеем: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru .

4. Имеем множество значений функции на концах отрезка и в к.т.I: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . Значит, наименьшее значение равно 1, наибольшее значение равно 1.5.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке - student2.ru . ▼

Знания и умения, которыми должен владеть студент

Наши рекомендации