Линейная зависимость и независимость векторов

Свойства арифметическогоn-мерного пространства

1. Ассоциативность

(a⃗ +b⃗ )+c⃗ =a⃗ +(b⃗ +c⃗ )(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→).

2. Коммутативность

a⃗ +b⃗ =b⃗ +a⃗ a→+b→=b→+a→.

3. Единственность решения уравнения

∀a⃗ ,b⃗ ∃!x⃗ ∈Pn(a⃗ +x⃗ =b⃗ ).

4. Существование нейтрального элемента

∃0⃗ =(0,0,0,…,0),∀a⃗ ,a⃗ +0⃗ =a⃗.

5. Существование противоположного вектора

∃0⃗ ,∀a⃗ ,a⃗ +0⃗ =a⃗ .

6. Ассоциативность скалярного умножения

∀λ,μ∈R :λ(μ⋅a⃗ )=(λ⋅μ)a⃗

7. Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров

(λ+μ)a⃗ =λa⃗ +μa⃗

8. Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов

λ(a⃗ +b⃗ )=λa⃗ +λb⃗

Операции с векторами и их свойства

Суммой векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется

вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Для любых векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru справедливы равенства

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Теорема 11.6.

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
Рисунок 11.2.3. Правило параллелограмма

Разностью векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется такой вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru который в сумме с вектором Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru дает вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.

Произведением вектора Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru на число λ называется вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru т. е. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

  • Для любого вектора Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и чисел λ и μ
Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  • Для любых двух векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и числа λ
Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Теорема 11.7.

Абсолютная величина вектора Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru равна |λ || a|. Направление вектора Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru при Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru совпадает с направлением вектора Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru если λ > 0, и противоположно направлению вектора Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru если λ < 0.

 

Теорема 11.8.

Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru существует такое число λ, что Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Теорема 11.9.

Пусть Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru можно единственным образом представить в виде Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

 

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется число Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Скалярное произведение векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru обозначется Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Для любых векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru верно:

  • Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  • Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  • Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Теорема 11.10.

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Единичные векторы Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Теорема 11.11.

Любой ненулевой вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Свойства умножения вектора на число:

  1. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  2. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  3. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  4. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  5. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru
  6. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Здесь Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru - произвольные векторы, Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru - произвольные числа.

2. Определение 1. Система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 1´. Система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется линейно зависимой, если найдутся числа с1, с2, …, сk, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru = Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.

Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.

Определение 2. Единичным вектором, или ортом, Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется n-мерный вектор, у которого i-я координата равна единице, а остальные - нулевые.

. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru (1, 0, 0, …, 0),

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru (0, 1, 0, …, 0),

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru (0, 0, 0, …, 1).

Теорема 1. Различные единичные векторы n-мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru = Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n-мерного пространства ā(а1, а2 , ..., аn) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и один из векторов является нулевым, например Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru = Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru = Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Предположим, что система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru линейно зависима, т.е. найдутся числа с1, с2, …, сr, не все равные нулю, такие, что Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru = Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Тогда

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru = Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 4 (теорема Штейница).Если каждый из векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru является линейной комбинацией векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и m>n, то система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru линейно зависима.

Следствие. В любой системе n-мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

Доказательство. Каждый n-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m>n, то, по теореме, данная система линейно зависима.

Линейная зависимость и независимость векторов

Система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru линейно зависима Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru что Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru линейно независима Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru


Критерий линейной зависимости векторов

Для того чтобы векторы Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

Лемма.

Пусть система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru линейно независима, а каждый ее вектор линейно выражается через векторы системы Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Тогда Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Определение. Система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется максимальной линейно независимой системой в линейном пространстве Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , если любое расширение Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru этой системы линейно зависимо.

Следствие. Если Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru две максимальные линейно независимые системы в Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , то Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Определение. Пространство Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru -мерным ( Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ), если в Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru есть максимальная линейно независимая система, состоящая из Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru векторов. Если такой подсистемы нет ни для какого Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , то Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Если Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , то по определению Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Определение. Система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется базисом линейного пространства Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , если каждый вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru единственным образом записывается в виде линейной комбинации Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Предложение. Система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru является базисом в пространстве Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru тогда и только тогда, когда Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru является максимальной линейно независимой системой в Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Предложение. Пусть Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru -- Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru -мерное векторное пространство, Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Тогда в Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru существует хотя бы один базис. Более того, каждая линейно независимая система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru может быть дополнена до некоторого базиса Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Предложение. Система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru является базисом в Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru -мерном векторном пространстве Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru тогда и только тогда, когда эта система линейно независима и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Предложение. Система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru является базисом в Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru -мерном векторном пространстве Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru тогда и только тогда, когда Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и каждый вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru линейно выражается через эти векторы.

Рассмотрим арифметическое пространство Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , состоящее из множества строк Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Вектора Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru (на Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru месте стоит Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ) -- образуют базис.

Следствие. В пространстве Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru система Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , является базисом тогда и только тогда, когда

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Наши рекомендации