Линейная зависимость и независимость векторов
Свойства арифметическогоn-мерного пространства
1. Ассоциативность
(a⃗ +b⃗ )+c⃗ =a⃗ +(b⃗ +c⃗ )(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→).
2. Коммутативность
a⃗ +b⃗ =b⃗ +a⃗ a→+b→=b→+a→.
3. Единственность решения уравнения
∀a⃗ ,b⃗ ∃!x⃗ ∈Pn(a⃗ +x⃗ =b⃗ ).
4. Существование нейтрального элемента
∃0⃗ =(0,0,0,…,0),∀a⃗ ,a⃗ +0⃗ =a⃗.
5. Существование противоположного вектора
∃0⃗ ,∀a⃗ ,a⃗ +0⃗ =a⃗ .
6. Ассоциативность скалярного умножения
∀λ,μ∈R :λ(μ⋅a⃗ )=(λ⋅μ)a⃗
7. Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров
(λ+μ)a⃗ =λa⃗ +μa⃗
8. Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов
λ(a⃗ +b⃗ )=λa⃗ +λb⃗
Операции с векторами и их свойства
Суммой векторов и называется
вектор Для любых векторов справедливы равенства
Теорема 11.6.
Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
Рисунок 11.2.3. Правило параллелограмма |
Разностью векторов и называется такой вектор который в сумме с вектором дает вектор откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.
Произведением вектора на число λ называется вектор т. е.
- Для любого вектора и чисел λ и μ
- Для любых двух векторов и и числа λ
Теорема 11.7.
Абсолютная величина вектора равна |λ || a|. Направление вектора при совпадает с направлением вектора если λ > 0, и противоположно направлению вектора если λ < 0.
Теорема 11.8.
Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов и существует такое число λ, что
Теорема 11.9.
Пусть и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор можно единственным образом представить в виде
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов и называется число Скалярное произведение векторов и обозначется
Для любых векторов и верно:
Теорема 11.10.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Единичные векторы и имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Теорема 11.11.
Любой ненулевой вектор единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде .
Свойства умножения вектора на число:
- .
Здесь и - произвольные векторы, , - произвольные числа.
2. Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.
Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с1, с2, …, сk, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.
Покажем, что эти определения эквивалентны.
Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:
,
.
Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.
Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .
,
,
.
Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.
Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n-мерный вектор, у которого i-я координата равна единице, а остальные - нулевые.
. (1, 0, 0, …, 0),
(0, 1, 0, …, 0),
…
(0, 0, 0, …, 1).
Теорема 1. Различные единичные векторы n-мерного пространства линейно независимы.
Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.
= .
Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.
Каждый вектор n-мерного пространства ā(а1, а2 , ..., аn) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора
.
Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:
= .
Следовательно, система линейно зависима.
Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с1, с2, …, сr, не все равные нулю, такие, что = . Тогда
= .
Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.
Доказательство.
Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.
Теорема 4 (теорема Штейница).Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m>n, то система векторов линейно зависима.
Следствие. В любой системе n-мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.
Доказательство. Каждый n-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m>n, то, по теореме, данная система линейно зависима.
Линейная зависимость и независимость векторов
Система линейно зависима что
Система линейно независима
Критерий линейной зависимости векторов
Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
Лемма.
Пусть система векторов линейно независима, а каждый ее вектор линейно выражается через векторы системы . Тогда .
Определение. Система называется максимальной линейно независимой системой в линейном пространстве , если любое расширение этой системы линейно зависимо.
Следствие. Если и две максимальные линейно независимые системы в , то .
Определение. Пространство называется -мерным ( ), если в есть максимальная линейно независимая система, состоящая из векторов. Если такой подсистемы нет ни для какого , то . Если , то по определению
Определение. Система векторов называется базисом линейного пространства , если каждый вектор единственным образом записывается в виде линейной комбинации , .
Предложение. Система векторов является базисом в пространстве тогда и только тогда, когда является максимальной линейно независимой системой в .
Предложение. Пусть -- -мерное векторное пространство, . Тогда в существует хотя бы один базис. Более того, каждая линейно независимая система может быть дополнена до некоторого базиса .
Предложение. Система является базисом в -мерном векторном пространстве тогда и только тогда, когда эта система линейно независима и .
Предложение. Система является базисом в -мерном векторном пространстве тогда и только тогда, когда и каждый вектор линейно выражается через эти векторы.
Рассмотрим арифметическое пространство , состоящее из множества строк , . Вектора (на месте стоит ) -- образуют базис.
Следствие. В пространстве система , , является базисом тогда и только тогда, когда