Примеры для самостоятельного решения. 12.3.1. Вода вытекает из отверстия в дне цилиндрическо­го сосуда

12.3.1. Вода вытекает из отверстия в дне цилиндрическо­го сосуда. Высота цилиндра H, площадь основания S, площадь отверстия . Составить математическую модель истечения воды и определить время, за которое вытечет вся жидкость.

12.3.2. В дне котла, имеющего форму полушара радиусом 1 м и наполненного водой, образовалась щель площадью 0,25 см ². Найти время истечения воды из котла.

12.3.3. За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиусом 0,1 м, вырезанное в дне?

12.3.4. Высота цилиндрического резервуара с вертикаль­ной осью равна 6 м, а диаметр 4 м. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через имеющееся в дне круглое отверстие радиусом 1/12 м?

12.3.5. Длина цилиндрического резервуара с горизон­тальной осью равна 6 м, диаметр 4 м. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через имеющееся в дне круглое отверстие радиусом 1/12 м?

12.3.6. Вертикально стоящий резервуар имеет в дне небольшое отверстие. Предполагая, что скорость истечения воды пропорциональна давлению, найти, за какое время вытечет половина первоначального объема воды, если известно, что 1/10 этого объема вытечет за первые сутки.

12.3.7. В резервуар глубиной 4 м, поперечное сечение которого — квадрат со стороной 6 м, поступает вода со скоростью 10 м /мин. За какое время резервуар будет наполнен, если в то же время вода вытекает из него через имеющееся в дне квадратное отверстие со стороной 1/12 м?

Распространение теплоты

Если на каждой из поверхностей, ограничивающих какое-либо тело, поддерживать постоянную температуру, то по истечении некоторого вре­мени тело приходит в состояние, при котором температу­ра в каждой его определенной точке постоянна (не зависит от времени). Если температура Т является функ­цией только одной координаты, например х, то в этом слу­чае, согласно закону Ньютона для теплопроводности, количество теплоты, проходящее за 1 с через площадку A, перпендикулярную к оси Ох,

,

где k — постоянная величина, называемая теплопроводностью данного вещества.

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха: , где Т - температура тела в момент времени ; t - температура воздуха; k - положительный коэффициент пропорциональности.

Решение типовых примеров

Пример 6. Полый железный шар ( , внутренний радиус которого 6 см, а внешний 10 см, находится в стационарном тепловом состоянии, причем температура на внутренней его поверхности 200 °С, а на внешней 20 °С. Найти температуру на расстоянии r (6 см < r < 10 см) от центра шара и количество теплоты, которое шар отдает в окружающую среду за 1 с.

Решение. Температура тела на поверхности А, представляющей собой сферу радиусом r, где 6 см < r < 10 см, зависит только от r, Т=Т(r). Площадь поверхности А равна 4 r². Количество теплоты, проходящее через поверхность А, определяется законом Ньютона

Поскольку источников теплоты между поверхностями шара нет, приходим к следующему выводу: через поверхность А для любого r проходит одно и то же количество теплоты, т. е. Q = const. Интегрируя записанное выше уравнение, получаем 4 Подставляя сюда Т= С, и , находим: С=-1000 , Q=10800 , Т=2700/r — 250. Тогда Q = 108 = 19892,77 Дж/с.