Решение задач на законы распределения системы двух непрерывных случайных величин

Задача №1. Двумерный закон распределения выручки X от реализа­ции и затрат Y на производство продукции определяется плотностью вероятности:

(1)

Определить МОЖ и СКО выручки X и затрат Y на производство продукции, коэф­фициент корреляции данных СВ. Записать урав­нение регрессии затрат на выручку от реализации продукции.

Решение. По виду приведенной двумерной плотности вероятности можно сделать вывод о том, что СВ Х и У имеют нормаль­ный закон распределения, двумерная плотность вероятности которо­го определяется формулой (№4.1 лекции №14).

(2)

Из сравнения формул (1) и (2) можно выписать равенства, из которых очень просто определяются математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции случайных величин Х и У:

(3)

Из данных равенств (3) следует, что математическое ожидание выруч­ки от реализации и затрат на производство продукции соответственно равно т_х = 5, т_у = 3.

Среднее квадратичное отклонение выручки и затрат на произ­водство продукции соответственно равно

Для коэффициента корреляции (см. 3-е уравнение системы уравнений 3) случайных величин Х и Y получим:

(4)

Уравнение регрессии затрат на производство У и на выручку от реа­лизации продукции X определяется формулой (№4.11 см.лекцию №14):

(5)

Тогда для рас­сматриваемого примера уравнение регрессии может быть записано в виде:

(6)

График уравнения регрессии затрат на производство Y и на выручку от реализации продукции X приведен на рис. 1.1.

Рис.1.1 График уравнения регрессии

Из графика и полученного уравнения следует, что для увеличения выручки от реализации продукции X необходимо увеличивать затраты на ее производство Y.

При увеличении затрат на одну денежную единицу можно с наибольшей вероятностью ожидать, что выручка от ре­ализации продукции возрастет на 1,073 денежных единиц (см. уравнение 6).

Задача №2. Найти вероятность попадания СВ (X; Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми если известна функция распределения:

(1)

Решение. Для решения данной задачи необходимо использовать формулу по вычислению вероятности попадания СВ Х и У в за­данную прямоугольную область:

(2)

С целью обеспечения удобства пользования данной формулой введём следующие обозначения: (3)

Тогда выражение (2) с учётом (3) можно записать в следующем виде:

(4)

Подставив в формулу (4), заданные по условию задачи значения границ случайных величин X и Y, а именно: получим:

Задача №3. Найти плотность совместного распределения f(x,у) системы СВ X, У (X – доход инвестиционной компании от приобретённых акций, Y – цена приобретения акций этой компанией) по известной функции распреде­ления:

(1)

Решение. По определению плотности совместного распределения системы двух непрерывных СВ, можно записать:

(2)

Так как искомая плотность распределения, является второй частной производной от функции распределения (см. уравнение 2), то, поэтому, найдем вначале частную производную по x (см. приложение №1 метод.разработки), заданной уравнением (1) функции распределения:

(3)

От полученного результата (3) найдём частную производную по у, что позволяет в итоге получить искомую плотность совместного распределения x и y:

(4)

Задача №4. Известно, что число оборотов кредита банка X зависит от оборота кредита по погашению Y в соответствии с плотностью их совместного распределения вида:

(1)

Найти функцию распределения заданной двумерной СВ X и Y.

Решение. Для нахождения двумерной функции распределения системы СВ воспользуемся свойством №2 плотности распределения системы двух СВ:

(2)

Подставив в выражение (2) заданную плотность распределения выражением (1), используя таблицу основных интегралов, (см. Приложение №2) получим:

(3)

Задача №5. Плотность распределения системы 2-х непрерывных СВ X (себестоимость продукции предприятия) и Y (объём реализованной продукции), которые определяют валовую прибыль предприятия, описывается следующим выражением:

(1)

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник (рис. 1.2) с вершинами К (1; 1), L( ; 1), M(1; 0) и N ( ;0).Координаты точек выражены в млн. рублей.

Рис.1.2Прямоугольник для задачи №5

Решение.

Известно, что вероятность попадания 2-х СВ в прямоугольную область а < Х< b и с < Y< d, в том числе и в произвольную область D, которая может быть разбита «n» элементарных прямоугольников, мож­но определить путем вычисления двойного интеграла вида (выражение 3.5 лекции №14):

(2)

где -

Тогда искомая вероятность определится следующим образом:

Задача №6. Двумерная СВ (X, У) задана плот­ностью совместного распределения вида:

(1)

Найти плотности распределения составляющих X и У.

Решение.

Для нахождения плотностей распределения составляющих X и Y, необходимо использовать следующее правило: Плотность распределения одной из составляю­щих равна несобственному интегралу с бесконечными пре­делами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

В соответствии с данным правилом можно записать две следующие формулы:

(2)

(3)

Используя формулу (2), найдём плотность распределения составляющей X, но для этого вначале, применяя условия системы двух уравнений (1), определим реальные пределы интегрирования для интеграла по вычислению :

так как

Иначе это неравенство можно записать в виде:

или пределы интегрирования для формулы (2) в условиях задачи равны:

Тогда, в соответствии с условиями задачи и формулы (2) по вычислению интересующей нас одномерной плотности распределения составляющей X, для первого уравнения системы (1) можно записать:

(4)

Правая часть полученного выражения (4) имеет смысл, лишь тогда, когда подкоренное выражение имеет значение больше нуля, т.е. , а следовательно, должно выполняться неравенство вида:

Таким образом, искомое выражение интересующей нас одномерной плотности распределения составляющей X, будет иметь вид следующей системы двух уравнений:

(5)

Аналогично рассуждая и применяя формулу (3), можно найти плотность распределения составляющей Y (выполнить студентам самостоятельно):

(6)