Глава 3. Исследование функций и построение графиков

Промежутки монотонности и знакопостоянства

Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f ^/ (x) ³ 0.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ^/(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b] (рис. 3.1).

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f ^/(x)£0 на этом отрезке. Если f ¢ (x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b] (рис. 3.2).

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Экстремумы функции

Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

(необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Но обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =

В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной

В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

(Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “–“, то в точке х = х₁ функцияf(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “–“ на “+”, то функция имеет минимум.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.