Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2, 2].

НИЖНЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

Экономический факультет

Кафедра «Высшей математики и информационных технологий»

МАТЕМАТИКА

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Для направления обучения

«Экология и природопользование»

Нижнекамск - 2014

Оглавление

Аннотация. 3

Указания по выполнению контрольной работы.. 3

Контрольные задания. 4

Решение типовых примеров. 14

Аннотация

В данной работе рассматриваются основные способы и методы решения задач, необходимые для выполнения контрольного задания, приводится перечень теоретических вопросов.

Указания по выполнению контрольной работы

1. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки или студенческого билета.

2. В заголовке контрольной работы написать фамилию, имя, отчество, курс, группу, номер студенческого билета, вариант контрольной работы и дату сдачи ее в институт.

3. Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя их номер. Перед решением каждой задачи выписать полностью условие. Решение каждой задачи сопровождать объяснениями и заканчивать ответом.

4. Оформление решений производить аккуратно, с минимальным количеством исправлений. Оставить поля для замечаний проверяющего.

Контрольные задания

1. Даны матрицы А, В, С. Вычислить матрицу D=AB+C

Вариант	А	В	С
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Вычислить определитель третьего порядка

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.
9.	10. .

Решить систему линейных уравнений

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

Составить уравнение прямой линии на плоскости, проходящей через заданные точки

1. (–1, 2) и (0, 10); 2. (–2, –1) и (3, 9); 3. (–3, 1) и (4, 8); 4. (–4, 3) и (–2, 7).

5. (–5, 2) и (0, 6); 6. (–6, –1) и (3, 5); 7. (–7, 1) и (4, 4); 8. (–8, 3) и (–2, 3).

9. (–9, 2) и (0, 2); 10. (–10, –1) и (3, 1).

5. Построить график функции (с помощью преобразования графиков основных элементарных функций) или в пакете MS Excel

1. 2. 3. , 4.

5. 6. , 7. 8. ,

9. 10.

Значение функции f(x) известно в точках а и b. С помощью линейной интерполяции найти значение функции в точке с

Вариант	а	f(a)	b	f(b)	c
	-1		2,5
					1,5
		6,5		7,5	2,5
	2,5		4,5	1,75
	–2	–12,5		–1	–1
					0,5
	1,5		3,5
	0,5		1,5	0,75
	1,5				2,5
	0,5				1,4

Найти предел функции

1. 2. 3.

4. 5. 6. ,

7. 8. 9. ,

10. .

8. Вычислить производную функции

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2, 2].

1. f(x) = x³ – x² – x + 1,

2. f(x) = x³ + 12x² + 21x +10,

3. f(x) = x³ + 4x² – 7,

4. f(x) = x³ – 6x +7,

5. f(x) = 4x³ – 8x² – 3x +10,

6. f(x) = x³ + 3x² – 4,

7. f(x) = x³ – x² ,

8. f(x) = x³ – 2x² + x - 2,

9. f(x) = x³ – 2x²– x+2,

10. f(x) = x⁴ – 1.

10. Исследовать функцию и построить ее график. Проверить график в пакете MS Excel

1. 2. 3. ,

4. 5. 6. ,

7. 8. 9. ,

10. .

11. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции

1. ; 2. ; 3. , 4.

5. ; 6. ; 7. ; 8.

9. ; 10. .

№ 12. Найти неопределенные интегралы:

0.	А)	Б)	В)
1.	А)	Б)	В)
2.	А)	Б)	В)
3.	А)	Б)	В)
4.	А)	Б)	В)
5.	А)	Б)	В)
6.	А)	Б)	В)
7.	А)	Б)	В)
8.	А)	Б)	В)
9.	А)	Б)	В)

№ 13. Найти определенные интегралы:

0.	А)	Б)	В)
1.	А)	Б)	В)
2.	А)	Б)	В)
3.	А)	Б)	В)
4.	А)	Б)	В)
5.	А)	Б)	В)
6.	А)	Б)	В)
7.	А)	Б)	В)
8.	А)	Б)	В)
9.	А)	Б)	В)

№ 14. Используя классическое определение вероятности, решить задачу:

0.Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, делится на три.

1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, равна семи.

2. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что разность цифр, выпавших на гранях кубика, равна двум.

3. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, равна восьми.

4. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что произведение цифр, выпавших на гранях кубика, равно восьми.

5.Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, делится на четыре.

6. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, равна шести.

7. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что разность цифр, выпавших на гранях кубика, равна трем.

8. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что разность цифр, выпавших на гранях кубика, равна одному.

9. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что произведение цифр, выпавших на гранях кубика, равно шести.

№ 15. Используя теоремы сложения и умножения вероятностей решить задачи:

0.В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены, соответственно с вероятностями 0,8; 0,9 и 0,6. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) 1-й экзамен; б) ровно один экзамен; в) хотя бы один экзамен.

1. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) 2-й экзамен; б) ровно два экзамена; в) хотя бы два экзамена.

2. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,6; 0,8 и 0,8. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) 3-й экзамен; б) только 3-й экзамен; в) три экзамена.

3. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,5; 0,9 и 0,6. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) только 1-й и 3-й экзамены; б) хотя бы 1-й и 3-й экзамены в) не более двух экзаменов.

4. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,9; 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) только 1-й экзамен; б) не более одного экзамена; в) не сдаст ни одного экзамена.

5.В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены, соответственно с вероятностями 0,7; 0,6 и 0,8. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) 1-й экзамен; б) ровно один экзамен; в) хотя бы один экзамен.

6. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,6; 0,9 и 0,7. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) 2-й экзамен; б) ровно два экзамена; в) хотя бы два экзамена.

7. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,5; 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) 3-й экзамен; б) только 3-й экзамен; в) три экзамена.

8. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,9; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) только 1-й и 3-й экзамены; б) хотя бы 1-й и 3-й экзамены в) не более двух экзаменов.

9. В сессию студенты сдают 1-й, 2-й и 3-й экзамены соответственно с вероятностями 0,8; 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что данный студент сдаст: а) только 1-й экзамен; б) не более одного экзамена; в) не сдаст ни одного экзамена.

№16. Используя локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа решить задачи:

0.В школах региона в среднем из каждых 100 первоклассников 80 имеют мобильные телефоны. Найти вероятность того, что из данных 400 первоклассников: а) точно 300 имеют телефоны; б) имеют телефоны от 300 до 350 детей?

1. В регионе в среднем из каждых 100 семей 70 имеют ЖК телевизоры. Какова вероятность того, что из данных 500 семей: а) точно 300 имеют ЖК телевизоры; б) имеют ЖК телевизоры от 300 до 350 семей?

2. В регионе по результатам проверок установлено, что в среднем каждое второе МП (малое предприятие) имеет нарушение финансовой дисциплины. Какова вероятность того, что из 1000 МП нарушают финансовую дисциплину: а) 450 МП; б) от 450 до 500 МП?

3. При перевозке в среднем повреждается каждое десятое изделие. Какова вероятность того, что при перевозке в партии из 900 изделий будет повреждено: а) ровно 80 изделий; б) от 80 до 100 изделий?

4. Известно, что в среднем одна четвертая часть пересаженных саженцев липы погибает. Какова вероятность того, что из 300 саженцев не приживутся: а) ровно 49 саженцев; б) от 9 до 49 саженцев?

5.В регионе в среднем из каждых 100 семей 30 имеют автомобили. Найти вероятность того, что из данных 1000 семей: а) точно 400 имеют автомобили; б) имеют автомобили от 300 до 400 семей?

6. В среднем из каждых 100 студентов 20 имеют спортивный разряд. Какова вероятность того, что из данных 800 студентов: а) точно 200 имеют разряд; б) имеют разряд от 100 до 200 студентов?

7. В регионе по результатам проверок установлено, что в среднем каждое четвертое МП (малое предприятие) имеет нарушение финансовой дисциплины. Какова вероятность того, что из 1500 МП нарушают финансовую дисциплину: а) 245 МП; б) от 45 до 245 МП?

8. Известно, что безубыточными являются лишь 90% инвестиционных проектов. Какова вероятность того, что из 450 проектов будут безубыточными: а) ровно 410 проектов; б) от 400 до 410 проектов?

9. Известно, что в среднем только половина претендентов на должность удовлетворяет квалификационным требованиям. Какова вероятность того, что из 400 претендентов требованиям удовлетворяет: а) ровно 220 человек; б) от 200 до 220 человек?

№ 17. Свойства нормального распределения

0.Расфасовку сахара в партии по 1000 пакетов производит станок-автомат. Пусть вес пакета (в кг.) является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Определить долю пакетов, вес которых: а) более 5,3 кг; б) лежит между 4,8 и 5,2 кг.

1. Пусть сумма вклада (в тыс.р.) клиентов данного банка является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Из 2000 клиентов определить долю тех, вклад которых: а) более 19,5 т.р.; б) лежит между 12 т.р. и 18 т.р.

2. Пусть цена обучения (в тыс.р.) в вузах региона является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Из 50 вузов определить долю тех, обучение в которых: а) более 28 т.р.; б) лежит между 23 т.р. и 27 т.р.

3. Пусть доход (в млн.р.), который получают МП (малые предприятия) является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Из 500 МП определить долю тех, доходы которых: а) более 12,5 млн.р.; б) между 5 и 11 млн.р.

4. В течение часа станок-автомат штампует 600 заготовок для деталей. Диаметр заготовки (в мм.) является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Какова доля заготовок, диаметр которых: а) более 52,45 мм; б) между 51,7 и 52,3 мм.

5.Расфасовку сахара в партии по 200 мешков производит станок-автомат. Пусть вес мешка (в кг.) является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Определить долю пакетов, вес которых: а) более 31,5 кг; б) лежит между 29 и 31 кг.

6. Пусть сумма вклада (в тыс.р.) клиентов данного банка является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Из 1000 клиентов определить долю тех, вклад которых: а) более 65 т.р.; б) лежит между 40 т.р. и 60 т.р.

7. Пусть цена обучения (в тыс.р.) в вузах региона является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Из 100 вузов определить долю тех, обучение в которых: а) более 79 т.р.; б) лежит между 64 т.р. и 76 т.р.

8. Пусть доход (в млн.р.), который получают МП (малые предприятия) является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Из 300 МП определить долю тех, доходы которых: а) более 8 млн.р.; б) между 3 и 7 млн.р.

9. В течение часа станок-автомат штампует 2000 заготовок для деталей. Диаметр заготовки (в мм.) является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Какова доля заготовок, диаметр которых: а) более 112,5 мм; б) между 111,6 и 112,4 мм.

Решение типовых примеров

1.1. Сложить две матрицы и

Решение. Складывать (вычитать) можно только матрицы одинакового размера, а т.к. размеры матрицы А – (3´2) и В – (3´2) (где 3 – число строк, 2 – число столбцов) совпадают, то для того, чтобы сложить две матрицы, надо к каждому элементу первой матрицы прибавить соответствующие элементы второй матрицы:

+ = = .

Ответ: .

1.2. Умножить матрицу на число 3.

Решение. Для того, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Ответ: .

1.3. Умножить матрицу на матрицу .

Решение. Умножение матриц А и В определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

С _m´n = A _m´k∙B _k´n

Совпадают

Размерность результирующей матрицы

В нашем случае размер А – (2´3), а размер В – (3´3), поэтому умножение производить можно; размерность результирующей матрицы С – (2´3). Для того чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i–й строки и j–го столбца новой матрицы, нужно элементы i–й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй матрицы и результат сложить, т.е. элементы матрицы С вычисляются по формуле:

.

C= ∙ =

= .

Ответ: C= .

2. Вычислить определитель 3-го порядка: .

Решение. 1) Метод разложения по элементам строки или столбца.

С помощью метода разложения по элементам строки (столбца) можно вычислить определители любого порядка. Строку (столбец), по элементам которого производится разложение, следует выбирать так, чтобы в ней содержалось наибольшее количество нулей.

Разложим определитель по элементам какой-либо строки или столбца. Например, выберем для разложения третий столбец:

= 3∙А₁₃ + 0∙А₂₃ + 3∙А₃₃ = 3∙А₁₃ + 3∙А₃₃ . (1)

Здесь А₁₃, А₂₃, А₃₃ – алгебраические дополнения элементов матрицы а₁₃, а₂₃, а₃₃ соответственно, которые в общем случае для элемента а_ij находятся по формуле

А_ij = (–1)^i+j∙M_ij. (2)

Минор М_ij – определитель, получаемый из исходного вычеркиванием i‑й строки и j‑го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, для нахождения М₁₃ вычеркивается 1-я строка и 3-йстолбец:

.

Аналогично определяем М₂₃, вычеркивая 2-ю строку и 3-й столбец.

М₃₃ получается вычеркиванием 3-й строки и 3-го столбца:

.

Тогда алгебраические дополнения (по формуле (2)) будут равны:

А₁₃ = (–1)¹⁺³∙M₁₃= (–1)⁴∙6 = 6,

А₃₃ = (–1)³⁺³∙M₃₃=(–1)⁶∙3= 3.

Подставляя найденные значения в (1), найдем определитель

= 3∙6 + 3∙3 = 27.

Ответ: 27.

2) Метод Саррюса.

С помощью метода Саррюса можно вычислять только определители третьего порядка.

Сначала к исходному определителю справа приписываем первый и второй столбцы:

Тогда определитель равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и диагоналях, параллельных ей, взятых со своими знаками, и произведению элементов побочной диагонали и параллельных ей диагоналях, взятых с противоположными знаками.

= 2∙4∙3 + 1∙0∙1 + 3∙5∙2 – 3∙4∙1 – 2∙0∙2 – 1∙5∙3 = 27.

Ответ: 27.

3. Решить систему линейных уравнений:

1) Метод Крамера.

Выпишем определитель матрицы системы А:

Δ = = 4.

(Так как определитель не равен 0, то метод Крамера использовать можно, и система имеет единственное решение.)

Определитель Δ₁ получаем из определителя Δ заменой первого столбца на столбец свободных членов В, а остальные столбцы остаются прежними:

Δ₁ = = 4.

Аналогично, заменяя в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно Δ₂ и Δ₃.

Δ₂ = = 8, Δ₃ = =12.

Теперь воспользуемся формулой Крамера и найдем все переменные:

, , .

2) Метод Гаусса.

Метод Гаусса – это универсальный метод решения систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении переменных.

Составим расширенную матрицу системы, которая включает в себя матрицу системы и столбец свободных членов.

.

Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент а₁₁ = 0, то перестановкой строк нужно добиться того, чтобы элемент а₁₁≠ 0. В нашем примере а₁₁≠ 0.

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого поочередно умножим элементы первой строки на числа и , и прибавим соответственно к элементам второй и третьей строк:

_{2∙ -3}

+ + →

Шаг 2. Если в полученной матрице а₂₂ ≠ 0, то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке:

→ .

Полученная матрица имеет треугольный вид.

Т.о. получили систему уравнений:

Откуда найдем из последнего уравнения х₃ = 3; из второго х₂ = =2; из первого х₁ = 8 – 2х₂ – х₃ = 1.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

А(5; 4) и В(2; –3).

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁;y₁) и М₂(х₂;y₂) имеет вид: .

Уравнение прямой, проходящей через заданные точки:

.

Ответ: уравнение прямой

5. Построить график функции у = –4∙sin2x + 1 (с помощью преобразования графиков основных элементарных функций).

Решение.

1) Сначала построим график функции у = sinx.

у

1

О х

-π - -1 π

2) Сжатием графика в 2 раза вдоль оси Ох получаем график функции у=sin2x.

у

1

О х

-π - π

3) Растянем график у = sin2x вдоль оси Оу в 4 раза и получим график функции у = 4sin2x.

у

4

1

О х

-π - π

-4

4) Зеркально отобразив график относительно оси Ох, получим у = –4sin2x.

у

4

1

О х

-π - π

-4

5) Сдвинем полученный график на 1 единицу вверх параллельно оси Оу. Таким образом, график функции у = – 4∙sin2x + 1 имеет вид:

у

5

1

π О π х

-3

6. Значение функции известно в точках a и b. С помощью линейной интерполяции найти значение функции в точке с.

а	f(a)	b	f(b)	c
	2,42	2,04	2,88	2,008

Решение. Формула линейного интерполирования:

f(c) » f(a) + , где h = b – a, Df = f(b) – f(a).

Подставляя в формулу известные значения из таблицы, получим:

f(2,008) » 2,42 + = 2,512.

Ответ. f(2,008) » 2,512.

7.1. Найти .

Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке х=1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем:

.

Ответ. .

7.2. Найти .