Дифференцируемость функции

Определение. Говорят, что функция Дифференцируемость функции - student2.ru дифференцируема в точке x0, если ее приращение Дифференцируемость функции - student2.ru можно представить в виде

Дифференцируемость функции - student2.ru (1)

где A – некоторое число, не зависящее от Дифференцируемость функции - student2.ru .

Теорема 1. Для того, чтобы функция Дифференцируемость функции - student2.ru , была дифференцируемой в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть Дифференцируемость функции - student2.ru дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на Дифференцируемость функции - student2.ru :

Дифференцируемость функции - student2.ru .

Переходя к пределу при Дифференцируемость функции - student2.ru , получим

Дифференцируемость функции - student2.ru ,

т.е. в точке x0 существует производная и она равна A: Дифференцируемость функции - student2.ru .

Достаточность. Пусть существует конечная производная Дифференцируемость функции - student2.ru .

Тогда Дифференцируемость функции - student2.ru и, следовательно,

Дифференцируемость функции - student2.ru .

В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

Формулу

Дифференцируемость функции - student2.ru

называют формулой бесконечно малых приращений.

Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

Теорема 2. Если функция Дифференцируемость функции - student2.ru дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.

Действительно из формулы (1) следует, что Дифференцируемость функции - student2.ru , а это и есть одно из определений непрерывности.

Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3: Дифференцируемость функции - student2.ru . Она непрерывна в нуле, но Дифференцируемость функции - student2.ru не существует.

Приведем еще один пример такой функции.

Пример 1. Дифференцируемость функции - student2.ru

Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва Дифференцируемость функции - student2.ru (в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

Дифференцируемость функции - student2.ru ,

следовательно, Дифференцируемость функции - student2.ru непрерывна в точке Дифференцируемость функции - student2.ru . Найдем производную функции в нуле (по определению!):

Дифференцируемость функции - student2.ru .

Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в ¥, синус предела не имеет. Итак, Дифференцируемость функции - student2.ru не существует, т.е. Дифференцируемость функции - student2.ru недифференцируема в нуле.

Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

Лекция 9

Наши рекомендации