Дифференцируемость и дифференциал функции

Дифференциальное исчисление

Функций одной переменной

Производная

Пусть функция f определена в V(x₀). Придадим точке х₀ произвольное приращение так, чтобы x₀+ x V(x₀). Тогда функция f(x) получит приращение

_.

Рассмотрим - функцию, определённую в .

Определение 1.Производной функции f в точке х₀ называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается , , , , .

Таким образом, по определению 1 . (1)

Обозначения ввёл Лейбниц (1646-1716), а , -Лагранж (1736-1813).

Производная функции в точке – число.

Пусть , , х V(x₀). Тогда (1) равносильно

. (2)

Если , то говорят, что в точке х₀ существует бесконечная производная, равная . Обозначается ( ).

Определение 2. Правой (левой) производной функции в точке х₀ называют правый (левый) предел отношения при , если этот предел существует.

, .

Правая и левая производные называются односторонними производными в точке х₀.

Справедливо следующее утверждение: функция f имеет в точке х₀ производную тогда и только тогда, когда и существуют и равны. Тогда .

Пусть f имеет производную в каждой точке . Поставим в соответствие точке х производную функции в этой точке: , . Это соответствие определяет функцию аргумента х, определённую на . Она называется производной функцией от функции f.

Значение в точке х является производной функции в точке х (может быть числом, ).

Примеры.

1) y=f(x)=c . .

D Выберем , придадим значению х приращение . Тогда

.

.D

Производная постоянной функции тождественно равна нулю: .

2) y=f(x)=x, .

D Выберем , придадим значению х приращение . Тогда

. D

.

3) y=f(x)=|x| .

D Пусть х<0, .

Пусть х>0, .

Пусть х=0, ,

.

Т.к. ,то не существует. D

Физический смысл производной и дифференциала

Пусть f(x) определена в . Придадим точке x₀ приращение , тогда приращение функции . Пусть . Отношение -это средняя скорость изменения переменной y на отрезке относительно х.

- мгновенная скорость изменения переменной у в точке x₀ относительно х.

Таким образом - скорость функции в точке х₀. Тогда если f описывает некоторый процесс любого характера (механического, биологического, химического и т.д.), то f ¢ - скорость изменения этого процесса в точке х₀.

Примеры.

1) Пусть - закон движения материальной точки. В момент времени t₀ точка прошла путь S₀. В момент времени точка прошла путь S. За время Dt точка прошла путь .

- средняя скорость движения точки между моментами времени t₀ и ,

- называется скоростью движения материальной точки в момент времени t₀.

, .

DS - путь, фактически пройденный материальной точкой за промежуток времени Dt (между t₀ и ) с переменной скоростью.

dS - путь, который прошла бы точка за момент времени Dt, если бы она двигалась с постоянной скоростью ( скоростью в момент времени t₀).

Если , то .

2) - закон изменения скорости. Рассуждаем аналогично примеру 1: - среднее ускорение за время между t₀ и , - ускорение в момент времени t₀.

Производная показательно – степенной функции.

Примеры.

1) x=acost,

y=asint, ,

- окружность с центром в точке (0;0) радиуса а.

2) x=acost,

y=bsint, ,

- эллипс.

3) x=acost+x₀,

y=asint+y₀, ,

- окружность с центром в точке , радиуса а.

4) x=a(t-sint),

y=a(1-cost).

Пусть по прямой Ох катится окружность радиуса а.

Циклоида - линия, которую при этом описывает каждая точка окружности.

- первая арка циклоиды

При получим всю циклоиду.

5) ,

, - астроида (гипоциклоида)

t
х
y

Построим по точкам.

t
х	-1
y					-1

Из примеров видно, что кривая (1) не всегда является графиком некоторой функции, то есть уравнения (1) не всегда определяют функцию y=f(x) (хотя связывают х и у).

Пусть функция x=j(t) имеет обратную , xÎX. Подставляя в функцию y=y(t), получим , xÎX. Таким образом, если для функции x=j(t)существует обратная функция, то система (1) определяет функцию y=f(x).

Определение.Задание функции y=f(x) с помощью системы (1) называется параметрическим заданием функции.

Если в параметрически заданной функции уравнение x=j(t) разрешимо относительно t (t=t(x)), то параметрическое задание функции можно свести к явному: (но это не всегда можно сделать).

Пример.x=acost,

y=asint, ,

x=j(t) монотонно убывает и непрерывна на , . Следовательно, существует обратная функция , определённая на . Значит, - функция от х, определённая на .Так как , то y>0. Значит,

.

Наоборот, всякую функцию y=f(x) можно многими способами представить параметрически в виде (1). Для этого достаточно задать совершенно произвольно функцию x=j(t) параметра t. Тогда для y=f(x) становится функцией того же параметра: .

Примеры.

1) , .

Положим . Получаем

x=sint,

, .

2) y=f(x), .

x=t,

y=f(t), .

Таким образом параметрический способ задания функции является более общим.

Теорема 1. Если в системе (1) функции j(t) и y(t) непрерывны на и j(t) на этом промежутке строго монотонна, то система (1) определяет непрерывную функцию y=f(x), определённую на .

Доказательство.

Так как j(t) непрерывна на , то по следствию из II теоремы Больцано-Коши. . Так как x=j(t) непрерывна и строго монотонна на , то она имеет обратную функцию , непрерывную и строго монотонную на . Тогда - композиция двух непрерывных функций на , следовательно, она является непрерывной на функцией.

Теорема 2. Пусть функция y=f(x) задана системой (1). Если функции j и y непрерывно дифференцируемы на , и на этом отрезке , то функция f дифференцируема на некотором промежутке D и справедлива формула

. (2)

Доказательство.

Так как непрерывна и на , то одного знака на (I теорема Больцано–Коши). Следовательно (это будет доказано позже), j(t) строго монотонна на . Значит, существует обратная функция , xÎD. Так как , то обратная функция дифференцируема .

Так как y=y(t), а , то - сложная функция. Она дифференцируема на D, так как j и y дифференцируемые функции, и её производная: .

Пример. x=acost

y=asint, ,

D j(t)=acost, непрерывна на , на ,

y(t)=asint, , , , . D

Замечание 1. Если , , то .

Если , то в этой точке не определена (хотя это не значит, что не существует).

Например,рассмотрим функцию , , .

Пусть , .

, .

Точке t=0 соответствует точка х=1.

, , не определена.

Если функции j(t), дважды дифференцируемы и , то существует :

.

Пример 1.

(*)

x=j(t)=lnt - непрерывная, строго монотонная при t>0 существует обратная функция , . Тогда уравнения (*) задают на функцию y=f(x). Найдём .

I способ: , , ,

, ,

, ,

.

II способ:

, (но не всегда выражаются через х).

Пример 2.

, .

На некотором промежутке эти формулы задают функцию y=f(x).

Пример 3.

D

. D

II. Неопределенность .

Теорема 3. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в , ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует , т. е. .

Из теоремы 3 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно больших функций при х®х₀ при выполнении условий 1)-4) теоремы 3 равен пределу при х®х₀ отношения производных этих функций.

Остаются в силе замечания 1, 2.

Пример 4. D Пусть a>1.

а) ;

б) . D

Вывод. Показательная функция a^x (a>1) при растет быстрее, чем степенная xⁿ. Степенная функция xⁿ при растет быстрее, чем логарифмическая log_ax (a>1).

III. Неопределенности вида |0×¥|, |¥-¥|сводятся к неопределенностям вида или : , |¥-¥| - привести к общему знаменателю.

Пример 5. D . D

Пример 6.D

. D

IV. Неопределенности сводятся к |0×¥|, а она к или .

Пример 7.D ;

.

Следовательно, . D

Пример 8. D ;

Значит, . D

Замечание. Важно в случае многократного применения правила Лопиталя не забывать каждый раз проверять, раскрыта ли неопределенность, иначе можно допустить ошибку.

Формула Тейлора

Теорема. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности V(a) точки a производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть х – любая точка из V(a), p - произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется такая точка с, что справедлива формула

, (1)

где , cÎ(a;x) (или cÎ(x;a)). (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора в общей форме.

Доказательство.

Пусть j(x;a) - многочлен n - порядка относительно х правой части формулы (1), т. е.

.

В силу условия j(x;a) существует. Обозначим через R_n(x)=f(x)-j(x;a). Тогда формула (1) будет доказана, если будет установлено, что R_n(x) имеет вид (2). Зафиксируем . Пусть x>a (для x<a доказательство аналогично). На отрезке [a;x] рассмотрим вспомогательную функцию y(t):

, (3)

где , т. е. .

Покажем, что y(t) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1) y(t) непрерывна на [a;x],

2) y(t) дифференцируема на (a;x),

3) ,

.

Значит, y(a)=y(x). Тогда на основании теоремы Ролля $ cÎ(a;x): y ¢(с)=0. Дифференцируя (3), получим

.

Тогда $ cÎ(a;x): . Следовательно,

. (4)

Тогда из (3), (4) следует

, cÎ(a;x).

Пример.1. Найти разложение по формуле Тейлора многочлена n-й степени

, , .

D fⁿ⁺¹(x)=Pⁿ⁺¹(x)=0 " . Тогда R_n(x)=0 " . Следовательно,

. D

Остаточный член формулы Тейлора в различных формах

Преобразуем формулу (2). Т. к. cÎ(a;x), то существует такое число q, 0<q<1, что c=a+q(x-a) Þ x-c=x-a-q(x-a)=(x-a)(1-q). Тогда

. (5)

Частные случаи.

1) p=n+1 Þ или

, 0<q<1. (6)

(6)– остаточный член в форме Лагранжа (наиболее употребительная форма).

2) p=1 Þ . (7)

(7) – остаточный член в форме Коши.

Замечание 1. В формулах (6) и (7) q, вообще говоря, различны, т. к. эти формулы получены из (2) при различных значениях р, а q зависит от р.

Замечание 2. В некоторых задачах важен лишь порядок R_n(x) относительно (x-a).

Из (6) Þ

Þ (8)

(8) - остаточный член в форме Пеано.

Замечание 3. С помощью формулы Тейлора можно производить приближенные вычисления f(x) с любой степенью точности: f(x)»j(x;a), погрешность равна R_n(x).

Замечание 4. Положим в (1) а=х₀, х-х₀=Dх, х=х₀+Dх, f(x₀+Dx)-f(x₀)=Df(x₀)=Dy.

Тогда . Формула Лагранжа Dy=f(x)-f(x₀)=f¢ (c)Dx является частным случаем формулы Тейлора и получается из нее при n=0. Действительно, при n=0

, 0<q<1.

Формула Маклорена

Полагая в формулах (1), (6)-(8) а=0, получим

-

формула Маклорена;

- форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

1. y=f(x)=e^x, .

, . При x=0 f(0)=f⁽ⁿ⁾(0)=1 Þ

,

где - форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

2. y=f(x)=sinx, .

,

Þ

,

.

3.y=f(x)=cosx, .

, Þ

,

.

4. y=f(x)=ln(1+x), .

. Þ

,

.

5. y=f(x)=(1+x)^m, , .

, ,

,

.

6. Пусть в случае 5 m=n Þ . Тогда

,

Þ

- бином Ньютона.

7. Пусть в случае 5 m=-1 Þ

,

.

Положим здесь х=-х:

.

Пример.

D

f ¢(x)=x³-4x, f ²(x)=3x²-4

f ¢(x)=0 при x₁=0, x₂=2, x₃=-2

f ²(0)=-4 Þ x=0 – точка строго максимума, maxf(x)=f(0)=3

f ²(±2)=8 Þ x=±2 – точки строго минимума, minf(x)=f(±2)=-1. D

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a;b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [a;b]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] надо:

1) найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

4. Выпуклость функции

Пусть функция f(x) дифференцируема на <a;b>. Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x;f(x)), xÎ<a;b>, причем эти касательные не параллельны оси Оу.

Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 8. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.

Доказательство.

Пусть f ²(x)³0 "хÎ<a;b>. Зафиксируем произвольное х₀Î(a;b). Докажем, что график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной в точке М₀(x₀;f(x₀)). Уравнение касательной:

y_кас.-f(x₀)=f ¢(x₀)(x-x₀). (1)

Разлагая f(x) по формуле Тейлора для n=1 "хÎ(a;b), получим

, х¹х₀, х₀<c<x (x<c<х₀) (2)

Вычтем (1) из (2):

, сÎ(х₀;х) (сÎ(х;х₀)). (3)

"хÎ(a;b) f ²(x)³0, сÎ(х₀;х)Ì(a;b). Следовательно, f ²(с)³0.

Тогда из (3) следует y-y_кас.³0 "хÎ(a;b), т. е. y³y_кас. "хÎ(a;b). Следовательно, график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной. Т. к. х₀ - произвольная точка из интервала (a;b), то f(x) выпукла вниз на <a;b>.

Пример.

D y=f(x)=x³,

f ¢(x)=3x², f ²(x)=6x

f ²(x)³0 при x³0 Þ на [0;+¥) функция выпукла вниз,

f ²(x)£0 при x£0 Þ на (-¥;0] функция выпукла вверх. D

5. Точки перегиба

Пусть f(x) определена и непрерывна в V(x₀).

Определение.Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

В примере х=0 – точка перегиба.

Теорема 9 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀ функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть в точке перегиба x₀ существует непрерывная f ²(x₀). В условиях теоремы для f ²(x₀) возможны 3 случая.

1) f ²(x₀)>0. Следовательно, т. к. f ²(x₀) непрерывна, $V(x₀), в которой f ²(x)>0, т. е. в точке x₀ функция не меняет направления выпуклости. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

2) f ²(x₀)<0. Следовательно, $V(x₀), в которой f ²(x)<0. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

3) f ²(x₀)=0.

В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Пример.

D , .

, .

Следовательно, в точке х₀=0 f ² не существует.

При x>0 f ²(x)>0 Þ на (0;+¥) функция выпукла вниз,

При x<0 f ²(x)<0 Þ на (-¥;0) функция выпукла вверх.

Значит, х₀=0 - точка перегиба. D

Т. о., точками возможного перегиба являются те точки из области определения функции, в которых вторая производ