Сущестование и дифференцируемость неявной функции
Теорема. Пусть функция двух переменных и ее частные производ-ные и непрерывны в некоторой окрестности точки , причем: а Тогда уравнение определяет (в не-которой окрестности точки ) единственную функцию . Эта функция дифференцируема и
(1)
Докажем формулу (1), принимая без доказательства существование и дифференцируемость неявной функции . То, что уравнение определяет некоторую функцию , означает следующее: (в не-которой окрестности точки ). Продифференцируем это тождество почленно, используя формулу (2) предыдущего параграфа:
Из последнего равенства и вытекает формула (1).
Пример. Рассмотрим функцию и точку Вычислим производные: Нетрудно видеть, что все условия теоремы выполнены: непрерывны в окрестности точки и , Следовательно, в некоторой окрестности точки , уравнение определяет некоторую функцию , обращающую уравнение в тождество. Ее производная:
Замечательно, что по свойствам функции двух переменных , задан-ной непосредственно, мы можем судить о свойствах функции , для которой непосредственного задания мы не имеем.
Замечание 1. Геометрический смысл условия линия определяемая уравнением имеет в точке невертикальную касательную, т.е. саму линию можно понимать как график некоторой функции (в некоторой окрестности точки М0).
Замечание 2. Теорема легко обобщается на случай неявных функций нескольких переменных.
Лекция 19
Касательная к кривой в пространстве
I Вектор-функция и ее производная
Определение 1. Если каждому значению переменной t из некоторого мно-жества Т поставлен в соответствие некоторый вектор , то говорят, что на множестве Т задана вектор-функция
Определение 2. Вектор называют пределом вектор-функции в точке и пишут , если .
Определение 3. Производной вектор-функции в точке называют предел
Если в пространстве задана декартова прямоугольная система координат, то вектор определяется своими проекциями, т.е.
или .
Таким образом, вектор-функция – это упорядоченная тройка обычных функций одной переменной. А так как
,
то определение 2 равносильно следующим трем равенствам
.
Аналогично для производной получаем
.
Будем откладывать векторы , , от начала координат. Тогда их концы составят в пространстве некоторую линию, которую называют годографомвектор-функции . Например, для вектор-функции годограф – это винтовая линия.
II Физический смысл производной вектор-функции
Положение точки М в пространстве можно задавать ее координатами (в не-которой системе координат), а можно задавать и радиус-вектором , где О – начало координат. Если точка М движется, то зависит от времени, т.е. движение точки в пространстве можно задавать вектор-функцией , где t – время из некоторого промежутка. Годограф этой функции – это траектория дви-жения. Производная – это вектор мгновенной скорости:
.
III Уравнения касательной
Линию в пространстве обычно задают системой параметрических урав-нений
Однако, удобно такую линию понимать как годограф вектор-функции
.
Напомним, что, кратко говоря, касательная к линии L в ее точке –это пре-дельной положение секущей , когда точка стремиться к вдоль L. Другими словами, касательная в точке – это та прямая, проходящая через , направляющий вектор которой есть предел направляющего вектора секущей. Пусть и Тогда
,
т.е. , а следовательно и служат направляющими векторами секущей. Поэтому
Отсюда получаем два вывода:
1)вектор мгновенной скорости точки направлен по касательной к траек-тории движения;
2)канонические уравнения касательной к линии L в точке , которая соответствует значению параметра , имеют вид:
Пример. Показать, что касательные к линии образуют с осью постоянный угол.
Решение. Для винтовой линии направляющий вектор касательной . Если – угол между касательной и осью , то
.
Напомним, что – орт оси : . Значит,
.
Как видим, , а значит и , не зависят от параметра t, т.е = сonst.
Замечание. Нетрудно заметить, что для плоской линии
уравнение касательной имеет вид
Пример. Составить уравнение касательной к эллипсу
Решение. Пусть – точка касания, соответствующая значению параметра : . Тогда уравнение касательной:
Разделив обе части последнего равенства на а .b, получим известную формулу для касательной к эллипсу в его точке :
.