Дифференцируемость функции комплексного переменного

Комплексная дифференцируемость, или дифференцируемость в смысле С является главным фактором отличающий комплексный анализ от действительного. Важность этого понятия обеспечивают ему много разных названий, подходов и определений. Одной из важных задач комплексного анализа является доказательство эквивалентности различных определений комплексной дифференцируемости. Мы приведем определение, которое казалось бы ничем не отличается от действительного анализа, но это совпадение кажущееся.

Пусть f(z) – однозначная функция в области DÌC

Определение. Функция f(z) называется моногенной в точке z₀ или имеющей комплексную производную в точке z₀ если существует конечный предел

.

Прямо из определения вытекает следующее

Утверждение. Для существования f¢(z₀) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности (проколотой) точки z₀ имело место представление

Dw = A Dz + a Dz, ( A = f¢(z₀) ), где a - бесконечно малая величина.

Связь с вещественной дифференцируемостью отражает следующая

Теорема. Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) имела (комплексную) производную в точке z₀ необходимо, а в случае дифференцируемости u, v в смысле действительного анализа и достаточно, выполнения условий Коши-Римана:

Необходимость: Возьмём Dz = Dx, тогда f¢(z₀) = ux +ivx. Возьмём Dz = iDy, тогда f¢(z₀) = uy +i vy = vy -i uy. Сравнивая, получим требуемые соотношения.

Достаточность: В силу дифференцируемости Dw = Du + i Dv = uxDx + uyDy +a|Dz|+i(vxDx + vyDy) +ib|Dz|= uxDx + uyDy +i(-uy Dx + ux Dy)+g|Dz|= (ux -iuy) Dx + (ux -iuy )iDy+g|Dz|=(ux -iuy) Dz+g|Dz||=(ux -iuy) Dz+g Dz=ADz+eDz.

Замечание 1. Как это следует из доказательства в случае дифференцируемости u и v имеет место равенство

Dw = uxDx + uyDy +i(-uy Dx + ux Dy)+eDz

Замечание 2. Можно показать, что

uxDx + uyDy +i(vxDx + vyDy) = .

Действительно: , , Df=uxDx+uyDy+ i(vxDx+vyDy)+g|Dz|,

f=u( , )+iv( , ), поэтому

,

,

Замечание 3. Выполнение равенства и условий Коши-Римана эквивалентно равенству .

Замечание 4. Как видно из предыдущего, если функция f дифференцируема в смысле действительного анализа, то

Фиксируем Dz=|Dz| eiq. Производная в этом направлении

существует и зависит от q, если . Таким образом у моногенной функции производная не зависит от направления.

Вычисление производной функции f(z), с учетом этих условий можно провести по любой из формул

.

Отразим геометрический смысл производной. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки z₀ и . Рассмотрим гладкую кривую γ, проходящую через точку z₀. Обозначим через Г образ кривой γ при отображении . Пусть φ – угол, образуемый касательной к кривой γ в точке z₀ и положительным направлением действительной оси в плоскости Сz , а Ф – угол, образуемый касательной к кривой Г в точке w₀=f(z₀) и положительным направлением действительной оси в плоскости Сw (касательные считаются направленными в ту же сторону, что и кривые). Величина α = Ф – φ называется углом поворота кривой γ в точке z₀ при отображении .

Пусть точка z расположена достаточно близко к точке z₀ и z Î γ. Обозначим .

Коэффициентом линейного растяжения кривой γ в точке z₀ при отображении называется предел

Известно, что , то есть значения a и k не зависят от вида и направления кривой γ (свойство сохранения углов и свойство постоянства растяжений).

Однозначная функция w = f(z) комплексного переменного, дифференцируемая в некоторой окрестности точки z₀ называется аналитической или голоморфной в точке z₀.

Функция называется голоморфной в области D, если она голоморфна в каждой точке области D.

Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования.