Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями , , расположенной выше оси Ох ( ), равна :

.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох ( ), то ее площадь может быть найдена по формуле

.

Пусть на отрезке заданны и непрерывны функции такие, что . Площадь фигуры , ограниченной кривыми , , и прямыми вычисляется по формуле:

.

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , вычисляется по формуле:

.

Пример 4. Найти площадь плоской фигуры ограниченной линиями

х=0, у=4.

Решение.Будем иметь (ед²).

Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

,

у

Решение.

х

Вычисление объёмов тел вращения.

Объём тела, полученного вращением вокруг оси Оx, криволинейной трапеции , определяется формулой

.

Пример 6. Найти объем тела, образованного вращением

фигуры, ограниченной линиями , , , х=1 вокруг оси Оx,

Решение.

Ответ: .

Пример 7. Найти объём тела вращения плоской фигуры

а) вокруг оси Ox,

б) вокруг оси Oy.

Решение.

а) Найдем объем тела вращения вокруг оси OX.

б)Найдем объём тела вращения вокруг оси OY.

Будем иметь и ,

.

Формулы длин дуг плоских кривых.

Длина кривой, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

Длина кривой заданной в полярных координатах уравнением

вычисляется по формуле:

.

Пример 8.Найти длину дуги кривой от до .

Решение. Кривая симметрична относительно оси Ox. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения находим . По формуле вычисления длины дуги получим

Контрольные вопросы.

1.Определённый интеграл

2.Формула Ньютона- Лейбница.

3. Вычисление объёмов тел вращения.

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) 3) ; 4) ;

5) : 6) .

2. Найти площади фигур ограниченных линиями:

1) , , ; 2) , у=1-х², х=0; 3) , х=е ,у=0.

3.Найти объём тела , образованного вращением фигуры ограниченной линиями:

=4-х²; у=0; х=0;

1) вокруг оси Ox; 2) вокруг оси Oy.

4. Найти длину дуги кривой:

а) отсеченной осью Ox;

б)

в) Кардиоиды

Занятие 10.

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами определяются как интегралы вида:

, ,

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

Если непрерывна для всех значений отрезка , кроме точки с, в которой имеет разрыв второго рода, то несобственным интегралом второго рода от неограниченнойфункции называется интеграл вида:

Признак сравнения. Если функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют на этом промежутке условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , и из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , то для любого

2) Если , то для любого

.

Итак, данный интеграл при сходится, при расходится и при расходится.

Пример 2.Исследовать сходимость .

Решение.Сравним подынтегральную функцию с функцией на . Очевидно, что

.

Но интеграл сходится, так как (см. пример 1.) Следовательно, согласно признаку сравнения , сходится и данный ряд.

Пример 3.Исследовать сходимость , где - некоторое число.

Решение. 1) Если , для некоторого ,то

2) Если , то

,

3) Если , для некоторого , то

.

Контрольные вопросы.

1. Несобственные интегралы.

2. Признак сравнения.

Задания.

1. Вычислить интегралы

1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.Исследовать сходимость интегралов

1) , 2) 3)

4) , 5) , 6) .

Математический анализ

Типовой расчёт по теме «Предел и производная»

Задача 1. Вычислить

№			№

Задача 2. Вычислить , используя второй замечательный предел.

№			№

Задача 3. Вычислить с помощью замены бесконечно малых на эквивалентные.

№		№

Задача 4. Найти точки разрыва функции .

Определить характер разрывов.

№	а	b	с	k	№	а	b	с	k
							-1
							-2
		-2
		-1					-1

Задача 5. Найти производную функцию

№		№

Задача 6. Найти производную функции, заданной

параметрически: .

№			№

Задача 7. Найти производную неявной функции, заданной уравнением

№		№

Задача 8. Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение числа .

№

Задача 9. Определить, в каких точках заданной линии L касательная к этой линии параллельна прямой , и написать уравнение этой касательной.

№	Уравнение линии		№	Уравнение линии
					-2
		-1
		-1
		-1

Для заметок

Для заметок

Для заметок

Для заметок

Для заметок

Алборова Мира Сослановна

Высшая математика часть 2

Методические указания по практическим занятиям

Подписано к печати:

Тираж:

Заказ №