Вычисление площадей плоских фигур

1) Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.

Мы пришли к понятию определенного интеграла от задачи о площади криволинейной трапеции (фактически, используя метод интегральных сумм). Если функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru принимает только неотрицательные значения, то площадь Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru под графиком функции на отрезке [a, b] может быть вычислена с помощью определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Заметим, что Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru поэтому здесь можно увидеть и метод дифференциалов.

Но функция может на некотором отрезке принимать и отрицательные значения, тогда интеграл по этому отрезку будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.

Можно вычислять площадь по формуле S= Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Это равносильно изменению знака функции в тех областях, в которых она принимает отрицательные значения.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , а снизу графиком функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то можно пользоваться формулой S= Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , так как Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=0, x=2 и графиками функций y=x2, y=x3.

Заметим, что на интервале (0,1) выполнено неравенство x2 > x3, а при x >1 выполнено неравенство x3 > x2. Поэтому

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

2. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и графиком функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru в полярной системе координат.

Здесь можно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Можно использовать и метод дифференциалов: Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Рассуждать можно так. Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru круговым сектором, имеем пропорцию Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Отсюда Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получаем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Площадь круга равна Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

3 Фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически.

Функция может быть задана параметрически в виде Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Используем формулу S= Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , подставляя в нее Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и пределы интегрирования по новой переменной Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, где подинтегральная функция имеет определенный знак и учитывают соответствующую площадь с тем или иным знаком.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Поэтому Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Вычисление объемов тел.

1) Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой OX.

Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , над отрезком Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и высотой Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , получим Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

2) Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг оси OX.

Тогда Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана в виде Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , можно вычислить по формуле Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Если функция задана в виде Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY, то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Пример. Вычислить объем шара Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Пример. Вычислить объем прямого кругового конуса, ограниченного поверхностью Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и плоскостью Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Вычислим объем, как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскости OXZ, катеты которого лежат на оси OZ и прямой z = H , а гипотенуза лежит на прямой Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Выражая x через z, получим Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Искомый объем можно посчитать как разность объемов прямого кругового цилиндра Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru с высотой H и тела, вращения, ограниченного цилиндрической, конической поверхностями и плоскостью OXY

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Вычисление длины дуги.

Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги, вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги.

Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Поэтому Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Если гладкая дуга задана параметрически Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Поэтому Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Если дуга задана в полярной системе координат, то

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Поэтому Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Пример. Вычислить длину дуги графика функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Пример. Вычислить длину кардиоиды Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Наши рекомендации