Вычисление площадей плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур

Если функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , определена и интегрируема на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , причем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на этом отрезке, то площадь криволинейной трапеции определяется определенным интегралом. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Если функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru отрицательна на отрезке

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Если функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то для определения площади криволинейной трапеции в обычном смысле, необходимо разбить отрезок Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , на части, соответствующие участкам знакопостоянства функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Площадь криволинейной трапеции будет выражена: Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Если требуется вычислить площадь области ограниченной двумя кривыми Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Причем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то достаточно представить искомую площадь в виде разности площадей двух криволинейных трапеций.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

В случае более сложных областей, искомую площадь разбивают на части и каждую часть рассчитывают по отдельности.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площади криволинейной трапеции заданной в параметрической форме

Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] задана параметрически

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Пример. Вычислить площадь эллипса. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Эллипс- фигура симметричная по всем осям, для вычисления площади эллипса достаточно вычислить площадь заштрихованной части. Используя тригонометрическую параметризацию Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , получим

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Площадь криволинейного сектора

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется парой чисел: Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Число Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru определяет расстояние от точки М до полюса. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru - угол образованный отрезком ОМ и полярной осью.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а ось х совпадает с полярной осью, то между декартовой и полярной системами координат, существует связь.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

При нахождении Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru нужно учитывать, в какой четверти находится точка, и брать соответствующее значение.

В полярной системе координат уравнение кривой может быть записано в виде

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru где Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru - непрерывная функция, Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Находясь в полярной системе координат, получим выражение для площади сектора ОАВ ограниченного кривой Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и радиус векторами Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Разобьём данную область радиус – векторами Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на n – частей. Обозначим через Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru - углы между радиус векторами.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Обозначим через Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru -некоторый радиус-вектор, соответствующий углу Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Рассмотрим круговой сектор с радиусом Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и центральным углом Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Площадь кругового сектора равна: Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Сумма Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru = Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru даёт площадь ступенчатого сектора. Так как эта сумма является интегральной суммой для функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то её предел есть неопределённый интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Выписанный интеграл считают площадью криволинейного сектора ОАВ.

Длина дуги кривой

Объём тела вращения

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычислим объем тела, получаемый от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ох.

В каждом сечении тела плоскостью перпендикулярной оси х получим круг, площадью которого Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и объем тела вращения

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Несобственные интегралы.

Рассматривая понятие определенного интеграла, существенно выделяли 2 обстоятельства:

1) Отрезок, по которому ведется интегрирование, должен быть конечным.

2) Функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , стоящая под знаком интеграла Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , должна быть ограничена на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru .

Понятие предела позволяет обобщить понятие определенного интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования и на случай неограниченной функции. Соответствующие интегралы называются несобственными интегралами первого и второго рода.

Несобственный интеграл первого рода - интеграл по бесконечному промежутку.

Несобственный интеграл второго рода - интеграл от неограниченной функции.

Вычисление площадей плоских фигур

Если функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , определена и интегрируема на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , причем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на этом отрезке, то площадь криволинейной трапеции определяется определенным интегралом. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Если функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru отрицательна на отрезке

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Если функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то для определения площади криволинейной трапеции в обычном смысле, необходимо разбить отрезок Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , на части, соответствующие участкам знакопостоянства функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Площадь криволинейной трапеции будет выражена: Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Если требуется вычислить площадь области ограниченной двумя кривыми Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Причем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то достаточно представить искомую площадь в виде разности площадей двух криволинейных трапеций.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

В случае более сложных областей, искомую площадь разбивают на части и каждую часть рассчитывают по отдельности.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Наши рекомендации