Дифференцирование параметрически заданных функций.

Параметрически заданной называется функция y=y(x), если она возникла с помощью соотношений

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru ,tÎT.

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

Чтобы отыскать вторую производную, используем эту формулу 2 раза.

Производная по направлению.

Пусть даны скалярная функция f(M)=f(x1,x2,…,xn) векторного аргумента, ненулевой вектор а и фиксированная точка М0.

Тогда производной от функции f(M) в направлении вектора ав точке М0 называется предел Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

и обозначается Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru , при этом знак выбираем знак «+», если вектор M0M­­a,

« - », если M0M­¯a.

Кривизна графика фун-и в точке М0 – число k, определяемое равенством Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru ,

Где w- угол между касательными в точках М и М0,

а s - длина дуги.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Уравнение касательной для функции, заданной:

· В явной форме:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

· В неявной форме:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru или Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

· Для параметрически заданной функции:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru tÎ(t1,t2) или Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

при t=t0,x0=x(t0),y0=(t0), Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

· В случае пространственной кривой, заданной параметрически Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru :

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

Нормаль к кривой – прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

· При задании кривой неявно уравнением F(x,y)=0 ур-е нормали в точке (x0,y0) можно записать в виде:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

Касательная плоскость к поверхности S в точке М0 – плоскость П, проходящая через точку М0 и содержащая касательные ко всем кривым, проходящим через М0 и лежащим на поверхности S в точке М0.

· Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в точке М00, у0, z0) можно записать в виде:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

· Если поверхность S задана явно ур-м z=f(x,y), то ур-е касательной имеет вид:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

· Уравнение нормали к поверхности F(x,y,z) в точке М0(х0,y0,z0) можно записать в виде:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

Дифференциал функции.

Дифференциал высшего порядка

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru
33. Формула Тейлора.

Если f – скалярная фун-я одной или многих переменных, имеющая непрерывные производные до порядка (n+1) включительно, то ее приращение в точке х0, вызванное приращением аргумента Dх, можно представить в виде:

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru Эта формула применяется для вычисления приближенных значений.

Формула Лагранжа.

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru , где с – точка, лежащая между х и х0.

Формула Маклорена.

При х=х0 формула Тейлора называется формулой Маклорена.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема1.

Пусть функция f имеет в точке х0 конечную производную f’(x0).

Если f’(x0)>0 то существует окрестность U(x0) этой точки такая, что f(x)>f(x0) для любого х Î U+0) (из правосторонней окрестности).

f(x)<f(x0) для любого х Î U-0) (из левосторонней окрестности).

При f’(x0)<0 выполняются противоположные неравенства.

Точка наибольшего или наименьшего значения функции f(x) в области Х – точка х0 (хÎХ), для всех хÎХ которых выполняется неравенство:

f(x)£f(x0) (f(x)³f(x0).

Теорема Ферма. Пусть фун-я f(x) определена на промежутке (a,b) и в точке с этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значения. Тогда, если существует f’(c), то f’(c)=0.

Теорема Ролля. Если:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2) существует конечная производная f’(x) на (а,b)

3) f(a)=f(b), то существует такая точка с, a<c<b что f’(c)=0.

Теорема Лагранжа.Если:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2) существует конечная производная f’(x) на (a,b),то найдется такая точка с, a<c<b, что

Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

Теорема Коши. Если:

1) функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на [a,b]

2) существуют конечные производные f’(x) и g’(x) на (a,b)

3) g’(x)¹0 для всех х Î (a,b),

то существует точка с Î (a,b) такая, что Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

Теорема6. Если функция f(x) имеет в точке х конечную производную f’(x), то фун-я f дифференцируема в этой точке.

Теорема7. Если функция f(x) имеет в то х конечную производную и эта производная непрерывна в этой точке, то функция f дифференцируема в этой точке.

Правило Лапиталя.

Если:

1) функции f(x) и g(x) определены на (a,b)

2) Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

3) всюду на (a,b) существуют производные f’(x) и g’(x) причем g’(x)¹0

4) существует предел Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru , то существует и предел Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

Теорема Лапиталя2. Если:

1) функции f(x) и g(x) определены на (a,b)

2) Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru

3) всюду на (a,b) существуют производные f’(x) и g’(x), причем g’(x)¹0

4) существует предел Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru , то существует и предел Дифференцирование параметрически заданных функций. - student2.ru .


Наши рекомендации