Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у' = f(x, y) на отрезке [ a, b] при заданном начальном условии у0 = f(x0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.
Метод Пикара
Пример 5.1.
Решить задачу Коши для ДУ 
на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Пикара с шагом h.
В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.
Решение.
1. Вводим данные (рис. 5.1)
a = 1,7 b = 2,7
h = 0,1 
y0 = 5,3 i = 0..n
Рис.5.1.Задание исходных данных
2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).
f derive(y) = 
Рис.5.2.Функция, возвращающая значение первой производной функции
3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом
Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –
Производная функции по у; a,b – концы отрезка; h – шаг; у0 –
начальное значение переменной у.
4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).
fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)= 
Рис. 5.3.Задание функции, возвращающей решение ДУ
методом Пикара (файл fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =
| 7,78457519486·10-11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Рис. 5.4.Нахождение численного решения ДУ методом Пикара
Метод Эйлера и его модификации
Пример 5.2.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h/2.
В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.
а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3
h = 0,1 n = 10
i = 0..n
y0 = y0 xi = a + ih h2 = 0,05
Рис5.5.Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением
уравнения методом Эйлера с шагом h и h/2 и графической
визуализацией метода Эйлера.
1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.
5.6).
Рис.5.6.Листинг программы, реализующий метод Эйлера
2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).
ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, 
, y0)
Рис. 5.7.Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера
Примечание
Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.
Рис. 5.8.Решение ДУ усовершенствованным методом
Эйлера с шагами h и h/2
5.3. Метод Рунге – Кутты
На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.
Пример 5.3.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h.
В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).
a = 1,7 b = 2,7
h = 0,1
y0 = 5,3
i = 0..n
Рис.5.9.Задание исходных данных
2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a, b – концы отрезка; h – шаг; y0 – начальное значение функции.
3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Рис. 5.10.Листинг функции, возвращающей численное
решение ДУ методом Рунге–Кутты
Метод Адамса
Пример 5.4.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h.
В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).
yi = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)i
Рис. 5.11.Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты
2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a, b – концы отрезка; y1 – начальное значение функции; h – шаг.
Рис. 5.12.Функция, возвращающая численное решение
ДУ методом Адамса
3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.
Рис. 5.13.Визуализация решения ДУ разными методами
Вопросы по теме
1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?
2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.
3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от
формы представления решения?
4. В чем заключается суть принципа сжимающих
отображений?
5. Рекуррентная формула метода Пикара.
6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?
7. Применение, каких формул позволяет получить значения
искомой функции по методу Эйлера?
8. Графическая интерпретация метода Эйлера и
усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?
9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?
10. Как определить количество верных цифр в числе,
являющемся решением ДУ методом Эйлера,
усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–
Кутты?
Задание к лабораторной работе № 5
Задание 5.1.
Решить задачу Коши для ДУ y’ = f(x, y) на отрезке [a, b] при заданном НУ у(а) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):
1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h/2;
2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h;
3) методом Адамса;
4) методом Пикара.
Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.
Таблица 5.1.Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы
| № | f(x, y) | [a, b] | y0 | h |
| 3х2 + 0,1ху | [0; 1] | у(0) = 0,2 | 0,1 | |
| 0,185(x2 + cos(0,7x)) + 1,843y | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | |
 | [1,6; 2,6] | у(1,6) = 4,6 | 0,1 | |
 | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 1,1 | 0,1 | |
 | [1,4; 2,4] | у(1,4) = 2,5 | 0,1 | |
 | [1,7; 2,7] | у(1,7) = 5,3 | 0,1 | |
 | [2,6; 4,6] | у(2,6) = 3,5 | 0,2 | |
 | [2; 3] | у(2) = 2,3 | 0,1 | |
| 1,6 + 0,5y2 | [0; 1] | у(0) = 0,3 | 0,1 | |
 | [1,8; 2,8] | у(1,8) = 2,6 | 0,1 | |
 | [2,1; 3,1] | у(2,1) = 2,5 | 0,1 | |
| e2x + 0,25y2 | [0; 0,5] | у(0) = 2,6 | 0,05 | |
 | [- 2; -1] | у(-2) = 3 | 0,1 | |
| 0,133·(x2 + sin(2x)) + 0,872y | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | |
| sin(x + y) +1,5 | [1,5; 2,5] | у(1,5) = 4,5 | 0,1 | |
 | [0,4; 1,4] | у(0,4) = 0,8 | 0,1 | |
| 2,5x + cos(y + 0,6) | [1; 3] | у(1) = 1,5 | 0,2 | |
| cos(1,5y +x)2 + 1,4 | [1; 2] | у(1) = 1,5 | 0,1 | |
 | [1,5; 2] | у(1,5) = 2,1 | 0,05 | |
| cos y + 3x | [0; 2] | у(0) = 1,3 | 0,1 | |
| cos(1,5x – y2) – 1,3 | [-1; 1] | у(-1) = 0,2 | 0,2 | |
 | [1,6; 2,6] | у(1,6) = 4,6 | 0,1 | |
| e-(y – 1) + 2x | [0; 0,5] | у(0) = 0,3 | 0,05 | |
| 1 + 2y sin x – y2 | [1; 2] | у(1) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
| 0,166(x2 + sin(1,1x)) + 0,883y | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | |
 | [1,7; 2,7] | у(1,7) = 5,6 | 0,1 | |
| | [1,4; 2,4] | у(1,4) = 2,5 | 0,1 | |
 | [0,6; 1,6] | у(0,6) = 0,8 | 0,1 | |
 | [1; 2] | у(1) = 5,9 | 0,1 | |
| 1 + 0,8y sin x - 2y2 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0,5; 1,5] | у(0,5) = 1,8 | 0,1 | |
 | [1,2; 2,2] | у(1,2) = 1,8 | 0,1 | |
| 1 + 2,2 · sin x + 1,5y2 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
| 0,2x2 + y2 | [0; 1] | у(0) = 0,8 | 0,1 | |
| x2 + y | [0; 1] | у(0) = 0,4 | 0,1 | |
| xy + 0,1y2 | [0; 1] | у(0) = 0,5 | 0,1 |
Литература
Основная литература:
Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в
пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.
Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.
Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.
Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. - 384 с.
дополнительная литература:
Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.
Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.
ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.
Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976
Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983
Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976
Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981
Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982
Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979
Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.
Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с
программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
http://www.open-mechanics.com/journals - Процессы и аппараты пищевых производств
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины
http://elibrary.ru/defaultx.asp - научная электронная библиотека «Elibrary»
Содержание
Введение
1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
1.2. Погрешность округленного числа
1.3. Погрешности арифметических действий
1.4. Погрешности элементарных функций
1.5. Способ границ
1.6. Обратная задача теории погрешностей
1.7. Вопросы по теме
1.8. Задания к лабораторной работе №1
2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения
скалярных уравнений
1.1. Метод хорд
1.2. Метод касательных
1.3. Метод простой итерации
1.4. Вопросы по теме
1.5. Задания к лабораторной работе №2
3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем
нелинейных уравнений
3.1. Метод Ньютона
3.2. Вопросы по теме
3.3. Задание к лабораторной работе №3
4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование
4.1. Метод прямоугольников
4.2. Метод Симпсона
4.3. Метод трапеций
4.4. Метод Монте – Карло
4.5. Вопросы по теме
4.6. Задание к лабораторной работе №4
5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
5.1. Метод Пикара
5.2. Метод Эйлера и его модификации
5.3. Метод Рунге – Кутты
5.4. Метод Адамса
5.5. Вопросы по теме
5.6. Задание к лабораторной работе №5
6. Литература