Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) встречаются при описании движения системы взаимодействующих материальных носителей (механике, химической кинетике, электрических цепях, сопротивлении материалов и многих других явлениях жизни).Ряд важнейших задач сводится к задачам с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно теория автоматического управления базируется на ОДУ, а также и другие курсы специальности АЭП

Простейшим ОДУ является уравнение 1-го порядка:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

ОДУ n-го порядка имеет вид:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

Однако любое уравнение n-го порядка можно свести к системе из n уравнений 1-го порядка:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

или

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

Таким образом, решение дифференциального уравнения n-го порядка сводится к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка (количество дифференциальных уравнений в системе = n).

Если ввести следующие обозначения:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru ,

то систему дифференциальных уравнений можно переписать в векторно-матричном виде:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru (1)

Известно, что система n-го порядка имеет множество решений,, которые в общем случае зависят от постоянных С, общее количество которых -n. Общее решение системы ОДУ может быть записано в виде:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru ,где Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

Для определения значения этих параметров, т.е. выделения единственного решения необходимо учитывать дополнительные условия. В зависимости от выбора дополнительных условий определены следующие типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:

- задача Коши;

- краевая задача;

- задача на собственные значения.

Задача Коши.

Задача Коши, или задача с начальными условиями, имеет следующие дополнительные условия:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

Краевая задача.

Когда дополнительные условия заданы как в точке Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru , так и в точке Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru .

Задача на собственные значения.

Если функция Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru зависит от параметров Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru :

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru ,

где Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru .

Число дополнительных условий должно быть соответственно Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru . Функции Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru где Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru ; Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru удовлетворяющее всем уравнениям, называются собственными дифференциальными или собственными значениями задачи.

Методы решения ОДУ.

Обыкновенные дифференциальные уравнения могут быть решены следующими методами:

  1. аналитическими;
  2. численными;
  3. графическими;
  4. приближенными.

Аналитические методы дают решение в виде аналитического выражения.

Графические методы дают приближенное решение в виде графика.

Численные методы дают частное решение для определенных Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru в виде таблицы, Численные методы применяются только к корректно поставленным задачам, т.е. к таким, у которых малое изменение начальных значений, приводит к малому изменению интегральных кривых.

Пример.

Пусть дано следующее ОДУ:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru .

Необходимо решить задачу Коши для Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru .

Начальные условия имеют вид:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

Общее решение имеет вид:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru

при Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru решение Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru .

Однако при малом изменении начальных условий:

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru решение в точке Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru : Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений - student2.ru . То есть имеет место плохо обусловленная задача.

Наши рекомендации