Метод Фурье для уравнений гиперболического типа

Разберем простейшее уравнение, описывающее колебание струны, закрепленной на концах, без воздействия внешних сил.
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru (1)
при начальных условиях

Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru (2)
и граничных условиях
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru . (3)

Пояснение:
Начальное условие Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru означает, что в нулевой момент времени струна имеет форму Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Начальное условие Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru означает, что в нулевой момент времени скорости точек струны равны Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .

Граничные условия Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru означают, что концы струны жестко закреплены.

Метод Фурье, или метод разделения переменных основывается на том, что решение ищется в виде
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru -

произведения двух функций, одна из которых зависит только от Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , а другая только от Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .

1) Найдем частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие граничным условиям (3).

Подставим Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru в исходное уравнение Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .

Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru

Поделим обе части полученного равенства на Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Пояснение: Получено равенство, левая часть которого зависит только от Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , а правая часть – только от Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru . Функции разных переменных могут быть равны между собой только в том случае, если они равны какому то числу, константе, обозначается эта константа Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Получены два уравнения:

Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru и Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , или, после преобразований
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru

Рассмотрим первое из них. Необходимо найти нетривиальные (не равные тождественно нулю) решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Замечание: Это есть граничные условия Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Это задача Штурма-Лиувилля. Однако её может решить любой, изучивший курс дифференциальных уравнений.

Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru (4)
- линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение:
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru

Замечание: Не вдаваясь в подробности: Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Общее решение уравнения (4):
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Определим значение коэффициентов Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru и Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru из условий Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
1) Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Подставляем в общее решение и получаем: Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
2) Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , иначе решением будет только Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru

- это, в зависимости от Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru – собственные значения задачи.
Т.к. выполнение условий не зависит от коэффициента Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , то примем его значение равным 1.
Итак, нетривиальными решениями уравнения (4) являются функции
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .

Решим уравнение Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , причем уже известно, что Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .

Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru

Общее решение уравнения (4):
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
Возвращаемся к поставленной задаче (1):
Функции
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru

Являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (3) .
Т.к. уравнение (1) линейно и однородно, то сумма частных решений
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
также является решением.
Теперь стоит разобраться с начальными условиями : Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .
1) Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru (5)

2) Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru (6)

Замечание: Из теории рядов Фурье известно, что произвольная, кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , заданная в промежутке Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , разлагается в ряд Фурье
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , где Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru .

Можно заметить, что (5) и (6) есть разложения в ряд Фурье функций Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru и Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru , а Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru и Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru – коэффициенты этих разложений, значит, их можно определить по формулам

Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru и Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru (7).
Вывод:
Ряд Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
с коэффициентами
Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru и Метод Фурье для уравнений гиперболического типа - student2.ru
является решением задачи (1) – (3).

3.2

Наши рекомендации