Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Рассмотрим задачу о распространении тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре. Задача состоит в отыскании решения уравнения теплопроводности:

u_t = a²u_xx

при граничных условиях:

u|_x=0 = 0; u|_x=l = 0,

и при начальном условии:

u|_t=0 = j(x),

где j(x) – непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x = 0 и x = l.

Будем решать эту задачу методом Фурье. Согласно методу Фурье ищем сначала частные решения уравнения в виде произведения двух функций:

u(x,t) = X(x)×T(t).

Подставляя u(x,t) в исходное уравнение, имеем:

X(x)×T'(t) = a²T(t)X''(x).

Разделяем переменные:

получаем два уравнения:

T'(t) + a²lT(t) = 0,

X''(x) + lX(x) = 0.

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения в виде произведения двух функций, удовлетворяющее граничным условиям, необходимо найти нетривиальное решение уравнения:

X''(x) + lX(x) = 0,

удовлетворяющего граничным условиям:

X(0) = 0; X(l) = 0.

Таким образом, для определения функций X(x) мы приходим к задаче о собственных значениях, т.е. приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра l, при которых существует нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям.

Те значения l, при которых задача имеет нетривиальные решения, называются собственными числами, а сами эти решения – собственными функциями.

Задача нахождения собственных чисел и собственных функций называется задачей Штурма-Лиувилля.

Решение уравнения:

.

удовлетворяющего граничным условиям:

X(0) = 0; X(l) = 0.

мы с Вами уже находили, когда рассматривали метод Фурье для уравнения колебаний струны.

Это решение имело следующий вид:

Далее, как и раньше подставляем граничные условия:

=> => C₁=0,

=> => C₂×sinll=0.

Последнее равенство возможно при sinll=0.

То есть при (k=±1; ±2;….)

Итак, если , т.е. , то существуют решения уравнения теплопроводности, не равные тождественно нулю.

Решение, отвечающее некоторому фиксированному k обозначим через X_k(x). Оно имеет вид:

,

Рассмотрим теперь второе уравнение:

T'(t)+a²lT(t)=0.

Это уравнение решается. Разделяем переменные

; lnT(t)=-a²l+C; ,

где A_k – произвольные постоянные. Итак, все функции вида:

удовлетворяют уравнению теплопроводности и граничным условиям при любых A_k=const. Составим ряд:

.

Требуя выполнение начального условия u|_t=0=j(x), получим:

.

Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции j(x) в ряд Фурье по синусам в промежутке (0,l). Коэффициенты A_k вычисляются по известной формуле:

.

Так как мы предположили, что функция j(x) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и обращается в ноль при x=0 и x=l, то ряд

с коэффициентами A_k равномерно и абсолютно сходится к j(x), что известно из теории тригонометрических рядов.

Итак, решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности выписывается следующим образом:

где

.

коэффициенты Фурье начальных данных.