Метод Фурье для однородной задачи

Сначала рассмотрим простейшую задачу с однородными краевыми условиями первого типа.

Задача.На концах стержня конечной длины поддерживается нулевая температура. Источники тепла в стержне отсутствуют (однородное уравнение). Начальная температура в каждой точке стержня задана.

Решение.Функция Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru – температура стержня – есть решение задачи:

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru (1)

Следуя методу Фурье, ищем сначала нетривиальные решения уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям, в виде:

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru

Знакомая схема приводит к соотношению:

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru .

Для задачи Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru известны собственные значения Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru и собственные функции Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru

Каждому собственному значению Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru соответствует функция Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru удовлетворяющая уравнению первого порядка:

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru

Значит, частные решения однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющие однородным граничным условиям, представляются в виде:

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru

Здесь введена новая постоянная Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru . Осталось просуммировать решения Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru (2)

В заключительной части метода Фурье определяются постоянные Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru так, чтобы функция (2) удовлетворяла заданному начальному условию

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru (3)

Формула (3) показывает, что Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru суть коэффициенты разложения начальной функции Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru в ряд Фурье по синусам на Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru , то есть

Метод Фурье для однородной задачи - student2.ru

Наши рекомендации