Исследование решений уравнения гиперболического типа

Лабораторная работа №1

Исследование решений уравнения гиперболического типа

Одним из методов решения дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток. Идея метода заключается в следующем. Для простоты, ограничимся случаем только функции двух переменных, и будем полагать, что решение уравнения ищется на квадратной области единичного размера. Разобьем область сеткой. Шаг сетки по оси x и по оси y, вообще говоря, может быть разный. По определению частная производная равна

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Если рассматривать функцию только в узлах сетки, то частную производную можно записать в форме

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru ,

где узел Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru соответствует точке Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru . Полученное выражение называется правой конечной разностью. Название связано с тем, что для вычисления производной в точке используются значение функции в этой точке и точке, лежащей правее. Очевидно, что сходное выражение можно было бы получить, используя точку, лежащую слева.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Такое выражение называется левой конечной разностью. Можно получить центральную конечную разность, найдя среднее этих выражений.

Теперь получим выражения для вторых производных.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

В данном случае для нахождения производной мы использовали симметричные точки. Однако, очевидно, можно было бы использовать точки с несимметричным расположением.

В качестве примера рассмотрим решение волнового уравнения (уравнения гиперболического типа).

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Уравнение будем решать методом сеток. Запишем уравнение в конечных разностях

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Полученное уравнение позволяет выразить значение функции u в момент времени Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru через значения функции в предыдущие моменты времени.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Такая разностная схема называется явной, так как искомая величина получается в явном виде. Она устойчива, если Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru .

Пример 1.1. Зададим начальные условия: смещение струны U в начальный и последующий моменты времени описывается синусоидальной функцией.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

(Совпадение смещений при j=0 и j=1 соответствует нулевой начальной скорости.)

Зададим граничные условия: на концах струны смещение равно 0 в любой момент времени Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Будем полагать коэффициент Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Записываем уравнение в конечных разностях, разрешенное относительно Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Представляем результат на графике

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Рис. 1.1.

В случае, если имеется аналитическое решение гиперболического уравнения с заданными начальными и граничными условиями, то представить графически поведение функции U = U(x, T) в любой момент времени Т можно с помощью элемента управления Slider (ползунковый регулятор). Данный элемент устанавливает шаблон, позволяющий изменять значения указанной переменной от T = 0 до T = Tmax с шагом 1. Величина Tmax должна являться целым числом.

Пример 1.2.

Вставим элемент Slider в рабочее поле (рис 1.2).

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Рис. 1.2. Рис. 1.3.

Вставим имя переменной и вызовем свойства объекта (рис. 1.3).

Зададим начальное T = 0 и конечное T = Tmax значения времени и построим график u(x, T1) зависимости для заданного положением регулятора времени T1.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Рис. 1.4.

Задания:

1. Для заданного аналитического решения уравнения гиперболического типа
а) построить график зависимости U = U(x, t1) в моменты времени t1 = 0, 10, 20 секунд;

б) построить (если это возможно) с использованием объекта slider графики зависимости U = U(x, T), T := slider и U = U(x,0), n := slider.

2. Решить уравнение гиперболического типа методом конечных разностей при следующих начальных и граничных условиях.

Задание 1 U = U(x,t) Задание 2
Гранич. Усл Начальные условия
1. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
2. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
3. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
4. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
5. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
6. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
7. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
8. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
9. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
10. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
11. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
12. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
13. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
14. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
15. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
16. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
17. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
18. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Лабораторная работа №2

Лабораторная работа №3

Лабораторная работа №4

Лабораторная работа №5

Лабораторная работа №1

Исследование решений уравнения гиперболического типа

Одним из методов решения дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток. Идея метода заключается в следующем. Для простоты, ограничимся случаем только функции двух переменных, и будем полагать, что решение уравнения ищется на квадратной области единичного размера. Разобьем область сеткой. Шаг сетки по оси x и по оси y, вообще говоря, может быть разный. По определению частная производная равна

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Если рассматривать функцию только в узлах сетки, то частную производную можно записать в форме

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru ,

где узел Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru соответствует точке Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru . Полученное выражение называется правой конечной разностью. Название связано с тем, что для вычисления производной в точке используются значение функции в этой точке и точке, лежащей правее. Очевидно, что сходное выражение можно было бы получить, используя точку, лежащую слева.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Такое выражение называется левой конечной разностью. Можно получить центральную конечную разность, найдя среднее этих выражений.

Теперь получим выражения для вторых производных.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

В данном случае для нахождения производной мы использовали симметричные точки. Однако, очевидно, можно было бы использовать точки с несимметричным расположением.

В качестве примера рассмотрим решение волнового уравнения (уравнения гиперболического типа).

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Уравнение будем решать методом сеток. Запишем уравнение в конечных разностях

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Полученное уравнение позволяет выразить значение функции u в момент времени Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru через значения функции в предыдущие моменты времени.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Такая разностная схема называется явной, так как искомая величина получается в явном виде. Она устойчива, если Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru .

Пример 1.1. Зададим начальные условия: смещение струны U в начальный и последующий моменты времени описывается синусоидальной функцией.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

(Совпадение смещений при j=0 и j=1 соответствует нулевой начальной скорости.)

Зададим граничные условия: на концах струны смещение равно 0 в любой момент времени Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Будем полагать коэффициент Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Записываем уравнение в конечных разностях, разрешенное относительно Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Представляем результат на графике

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Рис. 1.1.

В случае, если имеется аналитическое решение гиперболического уравнения с заданными начальными и граничными условиями, то представить графически поведение функции U = U(x, T) в любой момент времени Т можно с помощью элемента управления Slider (ползунковый регулятор). Данный элемент устанавливает шаблон, позволяющий изменять значения указанной переменной от T = 0 до T = Tmax с шагом 1. Величина Tmax должна являться целым числом.

Пример 1.2.

Вставим элемент Slider в рабочее поле (рис 1.2).

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Рис. 1.2. Рис. 1.3.

Вставим имя переменной и вызовем свойства объекта (рис. 1.3).

Зададим начальное T = 0 и конечное T = Tmax значения времени и построим график u(x, T1) зависимости для заданного положением регулятора времени T1.

Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Рис. 1.4.

Задания:

1. Для заданного аналитического решения уравнения гиперболического типа
а) построить график зависимости U = U(x, t1) в моменты времени t1 = 0, 10, 20 секунд;

б) построить (если это возможно) с использованием объекта slider графики зависимости U = U(x, T), T := slider и U = U(x,0), n := slider.

2. Решить уравнение гиперболического типа методом конечных разностей при следующих начальных и граничных условиях.

Задание 1 U = U(x,t) Задание 2
Гранич. Усл Начальные условия
1. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
2. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
3. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
4. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
5. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
6. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
7. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
8. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
9. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
10. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
11. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
12. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
13. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
14. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
15. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru , Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
16. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
17. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru
18. Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru U(0,t) = 0, U(l, t) = 0 Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru Исследование решений уравнения гиперболического типа - student2.ru

Лабораторная работа №2

Наши рекомендации