Метод сеток для уравнения гиперболического типа

Рассмотрим уравнение свободных колебаний однородной ограниченной струны (гиперболического типа) при отсутствии внешней силы

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru , (6)

где u=u(x,t) – смещение точки однородной струны с абсциссой х, t – время, а – постоянная, зависящая от физических свойств струны.

Будем искать решение уравнения (6) при заданных начальных и краевых условиях

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru (7)

и

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru (8)

Решим эту смешанную задачу методом сеток. Как и в случае параболического уравнения, покроем полосу Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru , Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru прямоугольной сеткой Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru где

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru (n – целое) и Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

На сетке Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru приближенно заменим дифференциальное уравнение (6) соответствующим конечно-разностным уравнением.

Пользуясь симметричными формулами для производных, будем иметь

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru . (9)

При Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru уравнение (9) упрощается и принимает вид Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru ,

откуда Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru . (10)

Решение одного варианта

1. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru (уравнение теплопроводности) при заданных начальных условиях

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

где Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Решение выполнить при Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru для Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru с четырьмя десятичными знаками, считая Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru .

Параболическое уравнение решается методом сеток постепенным переходом от значений функции Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru к значениям Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru ; причем Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru где Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

Вычисления производятся по формуле

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

Все расчеты приведены в таблице:

j i
  xi tj 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
0,12 0,39 0,60 0,75 0,84 0,87 0,84
0,0017 0,1233 0,3800 0,5900 0,7400 0,8300 0,8600 0,84
0,0033 0,1267 0,6372 0,5800 0,7300 0,8200 0,8517 0,84
0,0050 0,1300 0,3659 0,5704 0,7200 0,8103 0,8445 0,84
0,0067 0,1333 0,3607 0,5612 0,7101 0,8010 0,8380 0,84
0,0083 0,1367 0,3562 0,5526 0,7004 0,7920 0,8322 0,84
0,01 0,1400 0,3524 0,5445 0,6910 0,7834 0,8268 0,84

2. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для уравнения колебания струны Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru с начальными условиями Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru и краевыми условиями Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Решение выполнить с шагом Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru , определяя значения функции Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru с четырьмя десятичными знаками, причем Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru .

Для решения воспользуемся соотношением

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru ,

где i=1,2,…; j=1,2,3,…

При этом Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru а для определения Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru можно использовать один из возможных приемов, например,

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru ,

причем

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru .

Кроме того, Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

Решая по указанным формулам удобно выполнять в таблице, которая и является решением данной задачи.

Порядок заполнения таблицы:

1. Вычисляем значения Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru при Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru и записываем их в первую строку (она соответствует значению t0=0).

2. Вычисляем значения Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru при Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru и записываем их в первый столбец таблицы (он соответствует значению x0=0).

  xi tj   0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,198 0,384 0,546 0,672 0,75 0,768 0,714 0,576 0,342
0,1 0,005 0,2381 0,4247 0,5858 0,7092 0,7827 0,7942 0,7314 0,5824 0,3351
0,2 0,02 0,2317 0,4398 0,5878 0,6965 0,7533 0,7461 0,6626 0,4905 0,2404
0,3 0,045 0,2218 0,3948 0,5505 0,6320 0,6599 0,6218 0,5052 0,3206 0,1554
0,4 0,08 0,2082 0,3325 0,4390 0,5140 0,5004 0,4190 0,2798 0,1701 0,0802
0,5 0,125 0,1907 0,2523 0,2959 0,3074 0,2731 0,1584 0,0839 0,0393 0,0147

3. Заносим значения Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru в последний столбец таблицы (он соответствует значению x10=1,0)

4. Вычисляем значения Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru по формуле Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru , где Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru и Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru берутся из первой строки таблицы, а Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru . Результаты записываем во вторую строку таблицы.

5. Вычисляем значения Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru в последующих строках по формуле Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru , где значения Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru берутся из двух предыдущих строк таблицы.

Задания

1. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru (уравнение теплопроводности) при заданных начальных условиях

Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

где Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Решение выполнить при Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru для Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru с четырьмя десятичными знаками, считая Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru .

Вариант Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
cos2x 1-6t 0,3624
x(x+1) 0 2t+0,96
1,2+lg(x+0,4) 0,8+t 1,2
sin2x 2t 0,932
3x(2-x) 0 t+2,52
1-lg(x+0,4) 1,4 t+1
sin(0,55x+0,03) t+0,03 0,354
2x(1-x)+0,2 0,2 t+0,68
sinx+0,08 0,08+2t 0,6446
cos(2x+0,19) 0,932 0,1798
2x(x+0,2)+0,4 2t+0,4 1,36
lg(x+0,26)+1 0,415+t 0,9345
sin(x+0,45) 0,435-2t 0,8674
0,3+x(x+0,4) 0,3 6t+0,9
(x-0,2)(x+1)+0,2 6t 0,84
x(0,3+2x) 0 6t+0,9
sin(x+0,48) 0,4618 3t+0,882
sin(x+0,02) 3t+0,02 0,581
cos(x+0,48) 6t+0,887 0,4713
lg(2,63-x) 3(0,14-t) 0,3075
1,5-x(1-x) 3(0,5-t) 1,26
cos(x+0,845) 6(t+0,11) 0,1205
lg(2,42+x) 0,3838 6(0,08-t)
0,6+x(0,8-x) 0,6 3(0,24+t)
cos(x+0,66) 3t+0,79 0,3058
lg(1,43+2x) 0,1553 3(t+0,14)
0,9+2x(1-x) 3(0,3-2t) 1,38
lg(1,95+x) 0,29-6t 0,4065

2. Используя метод сеток, составить решение смешанной задачи для уравнения колебания струны Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru с начальными условиями Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru и краевыми условиями Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Решение выполнить с шагом Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru , определяя значения функции Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru с четырьмя десятичными знаками, причем Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru .

Вариант Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru -1
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 2 Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 0,3 Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 1,5
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 2 Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 2,25
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 0,5 Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 0,5 Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 0,4 Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 0,9
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru 0,5 Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru
Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru Метод сеток для уравнения гиперболического типа - student2.ru

Литература

1. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения)/ В.М.Вержбицкий. – М.: «Высшая школа», 2000. – 266с.

2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения)/ В.М.Вержбицкий. – М.: «Высшая школа», 2001. – 382 с.

3. Волков Е.А. Численные методы: учебное пособие/ Е.А.Волков. СПб.: Изд-во «Лань», 2004. – 256с.

4. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики/ Б.П.Демидович, И.А. Марон. – М.: Изд-во «Наука», 1970. – 664с.

5. Демидович Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие/ Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова; Под ред. Б.П.Демидовича. – СПб.: Изд-во «Лань», 2008. – 400с.

6. Заварыкин В.М. Численные методы: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.М.Заварыкин, В.Г.Житомирский, М.П.Лапчик. – М.: Просвещение, 1990. – 176с.

7. Воробьева Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н.Воробьева, А.Н. Данилова – М.: Высш. шк., 1979. – 184с.

8. Лапчик М.П. Численные методы: учебное пособие для студ. вузов / М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; Под ред.М.П.Лапчика. – М.: Издательский центр «Академия», 2005. – 384с.

9. Формалев В.Ф. Численные методы/ В.Ф.Формалев, Д.Л.Ревизников. – М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. – 400 с.

Содержание

Лабораторная работа №1. 1

Элементарная теория погрешностей. 2

Лабораторная работа №2. 6

Решение нелинейных уравнений методом половинного деления. 6

Лабораторная работа №3. 9

Решение нелинейных уравнений методом хорд. 9

Лабораторная работа №4. 12

Решение нелинейных уравнений методом касательных. 12

Лабораторная работа №5. 15

Решение нелинейных уравнений комбинированным методом хорд и касательных. 15

Лабораторная работа №6. 19

Решение нелинейных уравнений методом итерации. 19

Лабораторная работа №7. 21

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. 21

Лабораторная работа №8. 24

Решение систем линейных уравнений методом простой итерации. 24

Лабораторная работа №9. 30

Интерполяционный многочлен Лагранжа. 30

Лабораторная работа №10. 34

Интерполяционный многочлен Ньютона. 34

Лабораторная работа №11. 36

Обработка экспериментальных данных. 36

Лабораторная работа №12. 42

Численное интегрирование. 42

Лабораторная работа №13. 46

Метод Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 46

Лабораторная работа №14. 50

Решение дифференциальных уравнений в частных производных. 50

Литература. 55

Наши рекомендации