Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа

Запишем телеграфное уравнение для трехмерного пространства

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru (1)

где a0, a1, и a2 – положительные постоянные. С одномерным случаем этого уравнения мы уже имели дело в § 9, гл.II. При Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru оно переходит в волновое уравнение, при Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru в уравнение теплопроводности и диффузии, а при Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru , Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru в уравнение диффузии для среды, в которой происходят химические реакции.

Следуя методу разделения переменных, будем искать решения уравнения (1) в следующем виде

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru (2)

где u(x) – функция трех пространственных координат, а v(x) – функция только времени. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), получим соотношение

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru ,

из которого мы получаем два уравнения

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru (3)

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru (4)

Уравнение (3) эллиптического типа называется уравнением Гельмгольца, с которым мы уже встречались ранее (§ 6, гл. III, лекция 9). Оно играет важную роль в математической физике ввиду своей простоты и большого значения задач, которые к нему приводят (волновые процессы, теплопроводность, диффузия и др.). Из формулы (2) следует, что уравнение Гельмгольца описывает изменение от точки к точке интенсивности того или иного процесса, т.е. описывает статическое состояние, а уравнение (4) описывает изменение во времени всей совокупности этой интенсивности. Суперпозицией решений вида (2) можно охватить широкий круг пространственно-временных зависимостей.

Наряду с однородным уравнением (1), мы будем рассматривать также неоднородное уравнение Гельмгольца:

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru (5)

Функции ρ в некоторых задачах, как мы видели, можно приписать смысл плотности распределения источников.

Для уравнения Гельмгольца, так же как и для уравнений Лапласа и Пуассона, ставятся граничные задачи Дирихле, Неймана и смешанные, как внешние, так и внутренние. Однако для формулировки внешних задач оказывается необходимым вводить дополнительно условие поведения решения на бесконечности.

В качестве примера рассмотрим некоторые задачи, приводящие к уравнению Гельмгольца.

Установившиеся колебания мембраны.

Рассмотрим вынужденные колебания мембраны S, закрепленной на ограничивающем её контуре С, под действием внешней удельной (рассчитанной на единицу площади) силы

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru (6)

Тогда уравнение колебаний мембраны будет иметь вид

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru , (7)

где ρ – поверхностная плотность.

Будем искать решение уравнения (8) в виде

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru

Этот вид решения соответствует установившимся колебаниям с частотой ω и амплитудой v. Подставив его в уравнение (7), получим

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru , Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru

откуда следует

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru , (8)

где

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru и Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru

Уравнение Гельмгольца (8) есть уравнение для определения амплитуды установившихся колебаний мембраны. К этому уравнению нужно добавить граничное условие, соответствующее закреплению мембраны на границе:

Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типа - student2.ru (10)

Следует отметить, что задачи об установившихся колебаниях характерны также для акустики и теории электромагнитного поля.

Наши рекомендации