Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений

II. Практикум.

1. Решение простейших иррациональных уравнений, используя свойство корня n-ой степени

Пример 1.

При возведении обеих (неотрицательных) частей уравнения в квадрат, получаем равносильное уравнение:

Ответ: 87.

Пример 2.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим уравнение-следствие:

Проверка:

Если , то

Если , то

Ответ: - 9, - 8.

Метод возведения в степень.

Пример 1.

Уединим корень, после чего возведем обе части уравнения в квадрат:

Проверка показала, что посторонний корень.

Ответ: 7.

Пример 2.

Уединим по два радикала в каждой части уравнения так, чтобы сумма подкоренных выражений была одинакова.

8х + 1 + 2х – 2 – 2 = 7х + 4 + 3х – 5 – 2

(8х + 1)(2х – 2) = (7х + 4)(3х – 5)

х = 3; х = -

Проверка: х = - посторонний корень

Ответ: 3.

Пример 3.

х

3х² , т.к. , то

3х² ×

3х² = 2

х ₁ = - посторонний корень х₂ =

Ответ: .

Пример 4.

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу

По условию .

Тогда

Проверка показала, что х = 0 посторонний корень.

Ответ: 1.

Пример 5.

Уединим корни и возведем обе части уравнения в 6 степень (НОК(2; 3) = 6)

Проверка показала, что х = – 1 – посторонний корень.

Ответ: 2.

Метод введения новой переменной.

Пример 1.

Пусть y > 0. Получим уравнение .

Тогда у² + 3у – 4 = 0

у₁ = 1, у₂ = -4 (не удовлетворяет условию y > 0)

2 – х = 2 + х

х = 0

Проверка показывает, что 0 является корнем уравнения.

Ответ: 0.

Пример 2.

Пусть

2х – 5 = у²

| ×

|y + 1| + |y + 3| = 14, т.к. у ³ 0, то |y + 1| = y + 1, |y + 3| = y + 3

у + 1 + у + 3 = 14

2у = 10

у = 5

Тогда х = 15.

Ответ: 15.

Пример 3.

Заметим, что , тогда имеем

Это однородное уравнение. Разделим почленно на

Введем новую переменную . Получим

Вернувшись обратно к замене, получим: х=0, х= .

Ответ: 0; .

Метод составления смешанной системы.

Решение уравнений вида

Пример 1.

Ответ: -1.

Решение уравнений вида

Пример 2.

х = 4

Ответ: 4.

Пример 3.

Ответ: 7.

Решение уравнений вида

Пример 4.

Ответ: 4.

Решение уравнений вида

Пример 5.

Ответ: -2; 3.

Пример 6.

Ответ: -1; 1; 3.

Метод разложения подкоренного выражения на множители.

Пример 1.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

Проверка показала, что посторонний корень.

Ответ: -1; 1.

Пример 2.

Проверка показала, что посторонних корней нет.

Ответ: -2; 1; 13.

Метод умножения на сопряженное выражение.

Пример 1.

Умножим обе части уравнения на выражение , сопряженное выражению , предварительно проверив, что корень уравнения =0 х = 3 не является корнем данного уравнения.

Получим:

Ответ: 6.

Пример2.

(1) | ∙

х=0 или

Сложим данное уравнение с уравнением (1), получим

Ответ: -3; 0; 3.

Метод выделения полного квадрата в подкоренном выражении.

Пример 1.

Пусть

|y – 2| + |y – 3| = 1

1) 2) 3)

y =2 1 = 1 у = 3

решений нет решений нет

Ответ: [5; 10].

Пример 2.

Т.к. левая часть уравнения неотрицательна, то .

При Тогда

Т.к. при х = 4, то рассмотрим два случая: и x > 4.

1 случай:

При этих значениях переменной то есть уравнение равносильно системе:

Система не имеет решения.

2 случай: x > 4.

При этих значениях переменной то есть уравнение равносильно системе:

Ответ: 7.

Метод замены иррациональных уравнений системой рациональных уравнений.

Пример 1.

1) 2)

х – 3 = 27 х – 3 = -64

х = 30 х = -61

Ответ: -61; 30.

Пример 2.

Решая первое уравнение системы, находим

Возвращаясь к подстановке , получаем

Ответ: 1; 2; 10.