Замена переменных в тройном интеграл

Если в тройном интеграле , производится замена переменных по формулам x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), причём x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) осуществляют взаимно-однозначное отображение области Т пространства Oxyz на область T₁ пространства Ouvw и якобиан преобразования не обращается в нуль в области T₁:

,

то справедлива формула

. (18)

Наиболее употребительными из криволинейных координат являются

цилиндрические координаты: r, φ, z (рис. 6.3): x = rcosφ, y = rsinφ, z = z, якобиан которых I = r,

и сферические координаты: r (длина радиус-вектора), φ (долгота), θ (широта) (рис. 6.4): x = rcosφcosθ, y = rsinφcosθ, z = rsinθ, якобиан которых равен I = r² cosθ.

Рис.6.3 Рис. 6.4

Формула (18) принимает соответственно вид

(19)

или

.,

Применение тройных интегралов в задачах геометрии и механики

1. Объем V пространственной области Т равен

.

2. Масса тела с переменной плотностью γ(x, y, z), занимающего область Т:

.

3. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:

,

,

.

4. Координаты центра масс тела:

, , .

5. Моменты инерции тела относительно осей координат:

,

,

.

Если тело однородно, то в приведённых выше формулах следует положить γ(x, y, z) =1.

Векторное поле

Векторным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлен в соответствие вектор :

.

Векторными линиями векторного поля называются такие линии, которые в каждой своей точке М имеют направление . Они определяются системой дифференциальных уравнений

.

Если поле а – силовое поле, то работа А поля при перемещении материальной точки по дуге L равна

.

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру С в выбранном направлении равна

.

Потоком векторного полячерез поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности S, называется интеграл

.

Дивергенцией векторного поля в точке M₀ называется скалярная величина , равная отнесённому к единице объёма потоку вектора через поверхность бесконечно малого объёма, окружающего данную точку:

.

В декартовых координатах дивергенция вычисляется по формуле

.

Ротором (вихрем) векторного поля в точке M₀ называется вектор, проекция которого на любое направление определяется равенством

,

где S – площадь площадки, перпендикулярной , ограниченной замкнутым контуром C. Контур С пробегается против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора .

В декартовых координатах:

.

Формула Стокса. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру С равна потоку его ротора через произвольную поверхность S, «натянутую» на контур С:

.

где направление нормали к поверхности S согласовано с направлением обхода контура С.

Вектор , являющийся градиентом некоторого скалярного поля φ называется потенциальным вектором, а поле вектора называется потенциальным полем, скалярная функция φ называется потенциаломвекторного поля.

Для потенциальности поля , заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. чтобы . В этом случае существует потенциал φ, определяемый как решение уравнения

.

С точностью до постоянной он находится по формуле

,

где интеграл берётся по любому пути, исходящему из некоторой фиксированной точки M₀, где поле существует. Обычно в качестве пути выбирают ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, например, ломаную M₀M₁M₂M (рис. 6.5), а φ(M₀) полагают равной С (С=const). Тогда

.

Рис. 6.5

Кратные интегралы

Кратным называется интеграл функции многих переменных, берущийся по нескольким переменным. Для того чтобы вычислить кратный интеграл:

1. Введите, как обычно, оператор интегрирования.

2. В соответствующих местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной.

3. На месте ввода подынтегральной функции введите ещё один оператор интегрирования (рис. 6.6).

4. Точно так же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно.

Рис. 6.6.Ввод нескольких операторов интегрирования для расчёта кратного интеграла

Пример символьного и численного расчёта двукратного интеграла в бесконечных пределах приведён в листинге 6.1. Обратите внимание, что символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла л, а вычислительный определяет его приближённо и выдаёт в виде числа 3.142.

Листинг 6.1. Символьное и численное вычисления кратного интеграла:

Внимание!

Аккуратнее вводите в редакторе Mathcad кратные интегралы, если они имеют различные пределы интегрирования по разным переменным. Не перепутайте пределы, относящиеся к разным переменным. Если вы имеете дело с такого рода задачами, обязательно разберитесь с листингом 6.2, в котором символьный процессор вычисляет двукратный интеграл. В первой строке пределы интегрирования [а,b] относятся к переменной у, а во второй строке – к переменной X.

Листинг 6.2. Символьное вычисление кратных интегралов:

Указания к выполнению лабораторной работы:

Задание 1: Вычислить двойной интеграл по указанной области G.

Порядок выполнения задания 1

1. Определите подынтегральную функцию как функцию переменных x и y.

2. Определите кривые, задающие область интегрирования.

3. Постройте на одном графике линии, ограничивающие область интегрирования.

4. Найдите границы области интегрирования и точки пересечения графиков
данных функций.

5. Вычислите аналитически искомый интеграл.

6. Вычислите двойной интеграл, изменяя порядок интегрирования.
Пример 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами и вычислить
двойной интеграл , если область интегрирования G ограничена линиями у=х, , х=2.

Образец выполнения задания в Mathcad

Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого надо решить систему
уравнений

Система имеет два решения, но исходя из графика видно, что подходит точка с координатами (1,1). а – x-вая координата точки. Ещё две точки имеют координаты (2, y₁(2)), (2, y₂(2)). Найдём другое выражение для границ области интегрирования - это функции x₂(y), x₃(y).

Вычислим двойной интеграл, переходя к повторному двумя способами.

Рис 6.7 – Решение задания 1.

Таблица 6.1

Варианты задания1

№№	f(x,y)	Уравнения линий, ограничивающих область G

Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Порядок выполнения задания 2

1. Введите полярные координаты.

2. Определите в полярных координатах уравнение кривых, ограничивающих данную область.

3. Изобразите на графике область интегрирования.

4. Вычислите площадь полученной фигуры, используя полярные координаты.

Вариант 1-12. Рассмотрите двойной интеграл где D: y = x + m,

y = x + n, y = p x + r, y = p x + t.

Таблица 6. 3

N	m	n	p	t	r	N	m	n	p	t	r
1.		-4	-1/4			7.		-9	-1/9	13/9
2.		-5	-1/5	9/5		8.		-10	-1/10	7/5
3.		-6	-1/6	5/3		9.	-1		-1
4.		-7	-1/7	11/7		10.		-11	-1/11	15/11
5.		-2	-1/2			11.	-2	-1	-2
6.		-8	-1/8	3/2		12.	-3	-2	-3

Вариант 12-24. Рассмотрите двойной интеграл D: y = x² - m,

y = x² - n, y = - x² + r, y = -x² + t, x>0.

Таблица 6. 4

N	m	n	t	r	N	m	n	t	r
13.					19.
14.					20.
15.					21.
16.					22.
17.			-1		23.
18.			-2		24.

Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.

Порядок выполнения задания 2

1 Записать уравнения кривых, которые описывают область D пластины.

2 Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их в двукратном интегрировании.

3 Найти площадь S однородной пластинки через двойной интеграл.

3.1 Обратиться на панели Символы к функции simplify.

3.2 Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.

3.3 На месте ввода функции под интегралом ввести ещё один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию

4 Найти аналогично статические моменты M_x и M_y пластины относительно осей Ох и Оу как двойные интегралы

5 Определить координаты центра тяжести как отношение подынтегральной функции, которая определяет статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу

Пример 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины площадь которой ограничена линиями x=4y-y² и x+y=6.

Образец выполнения задания в Mathcad:

Найти координаты точек пересечения заданных линий, для чего необходимо решить систему уравнений (одной из встроенных функций MathCad, графически или решить систему уравнений).

x=4y-y²

x+y=6.

В результате будут получены точки пересечения А(4;2) и В(3;3).

Записать формулу для вычисления площади через кратный интеграл и использовать на панели Символы функцию simplify

.

Вычислить координаты центра тяжести пластины, которая ограничена кривыми y²=4x+4 и y²=-2x+4.

Площадь

Статические моменты относительно осей Ох и Оу

Координаты центра тяжести

Рис 6.9 – Решение задания 3

Таблица 6.5

Варианты задания 3

Номер варианта	Функции для вычисления площади фигуры	Функции для вычисления координат центра тяжести фигуры
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)	y2=x; x2=y
	3y2=25x; 5x2=9y	y=
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x
	x=4-y2; x+2y-4=0
	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x	y2=x; x2=y
	x=4-y2; x+2y-4=0	y=
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x
	x=4-y2; x+2y-4=0
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4
	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	2	3
	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)	y2=x; x2=y
	x=y2-2y; x+y=0	y=
	y=2-x; y2=4x+4
	3y2=25x; 5x2=9y
	x=y2-2y; x+y=0
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x	y=x2; y=2x2; x=1;x=2
	x=4-y2; x+2y-4=0	y2=x; x2=y

Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, - плотность. Найти объем тела.

Порядок выполнения задания 4

1. Задайте пределы интегрирования (переходя к цилиндрическим или сферическим координатам, если это удобно).

2. Выразите уравнение поверхностей в сферических (цилиндрических) координатах.

3. Задайте якобиан преобразования.

4. Определите плотность тела.

5. Введите формулу для вычисления объёма тела и найдите его значение.

Пример выполнения задания:

Пример 4. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить тройной интеграл , где область Т задана неравенствами

, ,

Образец выполнения задания в Mathcad:

Указание: Переходя в тройном интеграле к цилиндрическим (сферическим) координатам, целесообразно найти пределы интегрирования отдельно, по возможности используя инструменты Mathcad.

Таблица 6.4

Варианты задания 4

N	V
1.	x2 + y2 =1, x2 + y2 = 2z, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0)	10x
2.	x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤4), z = 0 (z ≥ 0)	2z
3.	x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0, z≥ 0)
4.	x2 + y2 = z2, x2 + y2 = z, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0)	32z
5.	x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 4z, x=0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0)	5y
6.	x2 + y2 +z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4)
7.	16(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)	5(x2 + y2)
8.	x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z≥ 0)	10z
9.	x2 + y2 =1, x2 + y2 = z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0)	10y
10.	x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 =1 (x2 + y2 ≤1)	6z
11.	9(x2 + y2) = z2, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)
12.	x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 =9z2 , x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)
13.	x2 + y2 =1, x2 + y2 = 6z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥0)	90y
14.	x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4), y = 0 (y ≥ 0)
15.	25(x2 + y2) = z2, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥0)	2(x2 + y2)
16.	x2 + y2 = 4, x2 + y2 =8z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥0)	5x
17.	x2 + y2 + z2 =16, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4)	2
18.	36(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, z = 0 (x= 0, z = 0)
19.	x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)	20z
20.	49(x2 + y2) =16z2, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0, z = 0 ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)	20z
21.	25(x2 + y2) = 4z2, 5(x2 + y2) = 2z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y 0)	28xz
22.	25(x2 + y2) = z2, 5(x2 + y2) = z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0)	14yz
23.	16(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, z = 0 (x ≥ 0, z ≥ 0)	20z
24.	x2 + y2 + z2 =16, x2 + y2 =4 (x2 + y2 ≤ 4)	5x