Замена переменных в двойных интегралах

Лабораторная работа № 6

Цель работы:лабораторной работы – ознакомить студентов с возможностями использования пакета Mathcad для решения кратных интегралов, привить навыки работы с компьютером в процессе изучения дисциплины «Компьютерные исчисления», навыки самостоятельной работы с современными математическими программами.

Указания к выполнению лабораторной работы:

Подобно тому, как задача о нахождении площади криволинейной трапеции, а также ряд задач механики и в, частности, задача о нахождении работы, совершаемой переменной силой по перемещению материальной точки вдоль отрезка прямой, привели к понятию определённого интеграла, так и более сложные задачи геометрии и физики (нахождение объёма тела, площади криволинейной поверхности, массы тела, статических моментов и моментов инерции тел и др.) приводят к понятию кратных интегралов.

Вычисления двойных и тройных интегралов вызывают некоторые трудности у студентов (как правило, расстановка пределов интегрирования в повторных интегралах). Использование компьютерной техники, программного продукта Mathcad позволяет производить достаточно громоздкие вычисления, связанные с непосредственным вычислением интегралов и строить графики функций, ограничивающих область интегрирования, что существенно повышает наглядность и способствует более глубокому пониманию изучаемых теоретических положений. В пятой и шестой лабораторных работах рассмотрены элементы теории поля, т. е.

решается ряд задач, связанных со скалярными и векторными полями.

Отчёт по лабораторной работе должен включать выполнение индивидуального задания и ответы на вопросы.

Задание 1. Вычислить двойной интеграл по указанной области G.

Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.

Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru - плотность. Найти объем тела.

Задание 5. Покажите, что поле Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru является потенциальным, и найдите потенциал этого поля. НЕ НУЖНО ДЕЛАТЬ!!!

Теоретические положения

Двойной интеграл

Пусть функция f(x, y) = f(P) определена и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости Oxy, Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru – некоторое разбиение области на элементарные подобласти Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , площади которых также обозначим через Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , а диаметры – через dk. Зафиксируем точки Pk Î Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ,k=1, 2, …n. Выражение

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

называется интегральной суммой для функции f(P) по области G.

Определение.Если существует предел последовательности интегральных сумм Sn при Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru (при этом n ®¥) и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области G на элементарные подобласти Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , ни от выбора точек Pk Î Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

.

Таким образом,

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности:

а) линейность:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ;

б) аддитивность: если G = G1+G2, то

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область G (рис. 6.1) ограничена кривыми Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , x=a, x=b причём всюду на [a, b] функции Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru непрерывны и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru . Тогда

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ,

причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (x считается постоянной), потом полученный результат интегрируется по x. Интегралы такого вида называются повторными. Если кривая Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru (или кривая Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ) в промежутке Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru задаётся различными аналитическими выражениями, то следует разбить область интегрирования на части и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Рис.6.1 Рис. 6.2

Аналогично, можно построить второй повторный интеграл. Если область G ограничена кривыми Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , y=c, y=d, причём всюду на [c, d] функции Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru непрерывны и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru (рис. 6.2), то

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Векторное поле

Векторным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлен в соответствие вектор Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru :

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Векторными линиями векторного поля Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru называются такие линии, которые в каждой своей точке М имеют направление Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru . Они определяются системой дифференциальных уравнений

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Если поле а – силовое поле, то работа А поля при перемещении материальной точки по дуге L равна

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Циркуляция векторного поля Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru по замкнутому контуру С в выбранном направлении равна

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Потоком векторного полячерез поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru к поверхности S, называется интеграл

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Дивергенцией векторного поля Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru в точке M0 называется скалярная величина Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , равная отнесённому к единице объёма потоку вектора Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru через поверхность бесконечно малого объёма, окружающего данную точку:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

В декартовых координатах дивергенция вычисляется по формуле

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Ротором (вихрем) векторного поля Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru в точке M0 называется вектор, проекция которого на любое направление Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru определяется равенством

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ,

где S – площадь площадки, перпендикулярной Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , ограниченной замкнутым контуром C. Контур С пробегается против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

В декартовых координатах:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Формула Стокса. Циркуляция векторного поля Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru по замкнутому контуру С равна потоку его ротора через произвольную поверхность S, «натянутую» на контур С:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

где направление Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru нормали к поверхности S согласовано с направлением обхода контура С.

Вектор Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , являющийся градиентом некоторого скалярного поля φ называется потенциальным вектором, а поле вектора Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru называется потенциальным полем, скалярная функция φ называется потенциаломвекторного поля.

Для потенциальности поля Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. чтобы Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru . В этом случае существует потенциал φ, определяемый как решение уравнения

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

С точностью до постоянной он находится по формуле

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ,

где интеграл берётся по любому пути, исходящему из некоторой фиксированной точки M0, где поле существует. Обычно в качестве пути выбирают ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, например, ломаную M0M1M2M (рис. 6.5), а φ(M0) полагают равной С (С=const). Тогда

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Рис. 6.5

Кратные интегралы

Кратным называется интеграл функции многих переменных, берущийся по нескольким переменным. Для того чтобы вычислить кратный интеграл:

1. Введите, как обычно, оператор интегрирования.

2. В соответствующих местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной.

3. На месте ввода подынтегральной функции введите ещё один оператор интегрирования (рис. 6.6).

4. Точно так же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно.

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Рис. 6.6.Ввод нескольких операторов интегрирования для расчёта кратного интеграла

Пример символьного и численного расчёта двукратного интеграла в бесконечных пределах приведён в листинге 6.1. Обратите внимание, что символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла л, а вычислительный определяет его приближённо и выдаёт в виде числа 3.142.

Листинг 6.1. Символьное и численное вычисления кратного интеграла:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Внимание!

Аккуратнее вводите в редакторе Mathcad кратные интегралы, если они имеют различные пределы интегрирования по разным переменным. Не перепутайте пределы, относящиеся к разным переменным. Если вы имеете дело с такого рода задачами, обязательно разберитесь с листингом 6.2, в котором символьный процессор вычисляет двукратный интеграл. В первой строке пределы интегрирования [а,b] относятся к переменной у, а во второй строке – к переменной X.

Листинг 6.2. Символьное вычисление кратных интегралов:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Указания к выполнению лабораторной работы:

Задание 1: Вычислить двойной интеграл Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru по указанной области G.

Порядок выполнения задания 1

1. Определите подынтегральную функцию как функцию переменных x и y.

2. Определите кривые, задающие область интегрирования.

3. Постройте на одном графике линии, ограничивающие область интегрирования.

4. Найдите границы области интегрирования и точки пересечения графиков
данных функций.

5. Вычислите аналитически искомый интеграл.

6. Вычислите двойной интеграл, изменяя порядок интегрирования.
Пример 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами и вычислить
двойной интеграл Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , если область интегрирования G ограничена линиями у=х, Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , х=2.

Образец выполнения задания в Mathcad

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого надо решить систему
уравнений

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Система имеет два решения, но исходя из графика видно, что подходит точка с координатами (1,1). а – x-вая координата точки. Ещё две точки имеют координаты (2, y1(2)), (2, y2(2)). Найдём другое выражение для границ области интегрирования - это функции x2(y), x3(y).

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Вычислим двойной интеграл, переходя к повторному двумя способами.

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Рис 6.7 – Решение задания 1.

Таблица 6.1

Варианты задания1

№№ f(x,y) Уравнения линий, ограничивающих область G
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Порядок выполнения задания 2

1. Введите полярные координаты.

2. Определите в полярных координатах уравнение кривых, ограничивающих данную область.

3. Изобразите на графике область интегрирования.

4. Вычислите площадь полученной фигуры, используя полярные координаты.

Вариант 1-12. Рассмотрите двойной интеграл Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru где D: y = x + m,

y = x + n, y = p x + r, y = p x + t.

Таблица 6. 3

N m n p t r N m n p t r
1. -4 -1/4 7. -9 -1/9 13/9
2. -5 -1/5 9/5 8. -10 -1/10 7/5
3. -6 -1/6 5/3 9. -1 -1
4. -7 -1/7 11/7 10. -11 -1/11 15/11
5. -2 -1/2 11. -2 -1 -2
6. -8 -1/8 3/2 12. -3 -2 -3

Вариант 12-24. Рассмотрите двойной интеграл Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru D: y = x2 - m,

y = x2 - n, y = - x2 + r, y = -x2 + t, x>0.

Таблица 6. 4

N m n t r N m n t r
13. 19.
14. 20.
15. 21.
16. 22.
17. -1 23.
18. -2 24.

Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.

Порядок выполнения задания 2

1 Записать уравнения кривых, которые описывают область D пластины.

2 Найти точки их пересечения, для того чтобы использовать их в двукратном интегрировании.

3 Найти площадь S однородной пластинки через двойной интеграл.

3.1 Обратиться на панели Символы к функции simplify.

3.2 Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования.

3.3 На месте ввода функции под интегралом ввести ещё один оператор интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

4 Найти аналогично статические моменты Mx и My пластины относительно осей Ох и Оу как двойные интегралы

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

5 Определить координаты центра тяжести как отношение подынтегральной функции, которая определяет статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Пример 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины площадь которой ограничена линиями x=4y-y2 и x+y=6.

Образец выполнения задания в Mathcad:

Найти координаты точек пересечения заданных линий, для чего необходимо решить систему уравнений (одной из встроенных функций MathCad, графически или решить систему уравнений).

x=4y-y2

x+y=6.

В результате будут получены точки пересечения А(4;2) и В(3;3).

Записать формулу для вычисления площади через кратный интеграл и использовать на панели Символы функцию simplify

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Вычислить координаты центра тяжести пластины, которая ограничена кривыми y2=4x+4 и y2=-2x+4.

Площадь

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Статические моменты относительно осей Ох и Оу

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Координаты центра тяжести

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Рис 6.9 – Решение задания 3

Таблица 6.5

Варианты задания 3

Номер варианта Функции для вычисления площади фигуры Функции для вычисления координат центра тяжести фигуры
x=y2-2y; x+y=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=2-x; y2=4x+4 y=x2; y=2x2; x=1;x=2
y2=4x-4; y2=2x (извне параболы) y2=x; x2=y
3y2=25x; 5x2=9y y= Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=4x-4x2; y=x2-5x Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
x=4-y2; x+2y-4=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
x=y2-2y; x+y=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=2-x; y2=4x+4 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=4x-4x2; y=x2-5x y2=x; x2=y
x=4-y2; x+2y-4=0 y= Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
x=y2-2y; x+y=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=2-x; y2=4x+4 y=x2; y=2x2; x=1;x=2
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=4x-4x2; y=x2-5x Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
x=4-y2; x+2y-4=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
x=y2-2y; x+y=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=2-x; y2=4x+4 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=2-x; y2=4x+4 y=x2; y=2x2; x=1;x=2
2 3
y2=4x-4; y2=2x (извне параболы) y2=x; x2=y
x=y2-2y; x+y=0 y= Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=2-x; y2=4x+4 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
3y2=25x; 5x2=9y Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
x=y2-2y; x+y=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
y=4x-4x2; y=x2-5x y=x2; y=2x2; x=1;x=2
x=4-y2; x+2y-4=0 y2=x; x2=y
         

Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru - плотность. Найти объем тела.

Порядок выполнения задания 4

1. Задайте пределы интегрирования (переходя к цилиндрическим или сферическим координатам, если это удобно).

2. Выразите уравнение поверхностей в сферических (цилиндрических) координатах.

3. Задайте якобиан преобразования.

4. Определите плотность тела.

5. Введите формулу для вычисления объёма тела и найдите его значение.

Пример выполнения задания:

Пример 4. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить тройной интеграл Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , где область Т задана неравенствами

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Образец выполнения задания в Mathcad:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Указание: Переходя в тройном интеграле к цилиндрическим (сферическим) координатам, целесообразно найти пределы интегрирования отдельно, по возможности используя инструменты Mathcad.

Таблица 6.4

Варианты задания 4

N V Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
1. x2 + y2 =1, x2 + y2 = 2z, x = 0, y = 0, z = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0) 10x
2. x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤4), z = 0 (z ≥ 0) 2z
3. x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0, z≥ 0) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
4. x2 + y2 = z2, x2 + y2 = z, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0) 32z
5. x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 4z, x=0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y≥ 0) 5y
6. x2 + y2 +z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
7. 16(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 5(x2 + y2)
8. x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z≥ 0) 10z
9. x2 + y2 =1, x2 + y2 = z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0) 10y
10. x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 =1 (x2 + y2 ≤1) 6z
11. 9(x2 + y2) = z2, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
12. x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 =9z2 , x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
13. x2 + y2 =1, x2 + y2 = 6z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥0) 90y
14. x2 + y2 + z2 =9, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4), y = 0 (y ≥ 0) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
15. 25(x2 + y2) = z2, x2 + y2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥0) 2(x2 + y2)
16. x2 + y2 = 4, x2 + y2 =8z, x = 0, y = 0, z = 0 (x≥ 0, y ≥0) 5x
17. x2 + y2 + z2 =16, x2 + y2 = 4 (x2 + y2 ≤ 4) 2 Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
18. 36(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, z = 0 (x= 0, z = 0) Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru
19. x2 + y2 + z2 =1, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0 (x≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 20z
20. 49(x2 + y2) =16z2, x2 + y2 = 4z2, x = 0, y = 0, z = 0 ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 20z
21. 25(x2 + y2) = 4z2, 5(x2 + y2) = 2z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y 0) 28xz
22. 25(x2 + y2) = z2, 5(x2 + y2) = z, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0) 14yz
23. 16(x2 + y2) = z2, x2 + y2 =1, x = 0, z = 0 (x ≥ 0, z ≥ 0) 20z
24. x2 + y2 + z2 =16, x2 + y2 =4 (x2 + y2 ≤ 4) 5x

Лабораторная работа № 6

Цель работы:лабораторной работы – ознакомить студентов с возможностями использования пакета Mathcad для решения кратных интегралов, привить навыки работы с компьютером в процессе изучения дисциплины «Компьютерные исчисления», навыки самостоятельной работы с современными математическими программами.

Указания к выполнению лабораторной работы:

Подобно тому, как задача о нахождении площади криволинейной трапеции, а также ряд задач механики и в, частности, задача о нахождении работы, совершаемой переменной силой по перемещению материальной точки вдоль отрезка прямой, привели к понятию определённого интеграла, так и более сложные задачи геометрии и физики (нахождение объёма тела, площади криволинейной поверхности, массы тела, статических моментов и моментов инерции тел и др.) приводят к понятию кратных интегралов.

Вычисления двойных и тройных интегралов вызывают некоторые трудности у студентов (как правило, расстановка пределов интегрирования в повторных интегралах). Использование компьютерной техники, программного продукта Mathcad позволяет производить достаточно громоздкие вычисления, связанные с непосредственным вычислением интегралов и строить графики функций, ограничивающих область интегрирования, что существенно повышает наглядность и способствует более глубокому пониманию изучаемых теоретических положений. В пятой и шестой лабораторных работах рассмотрены элементы теории поля, т. е.

решается ряд задач, связанных со скалярными и векторными полями.

Отчёт по лабораторной работе должен включать выполнение индивидуального задания и ответы на вопросы.

Задание 1. Вычислить двойной интеграл по указанной области G.

Задание 2: Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Задание 3. Вычислить координаты центра тяжести пластины.

Задание 4. Тело V задано ограничивающими его поверхностями, Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru - плотность. Найти объем тела.

Задание 5. Покажите, что поле Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru является потенциальным, и найдите потенциал этого поля. НЕ НУЖНО ДЕЛАТЬ!!!

Теоретические положения

Двойной интеграл

Пусть функция f(x, y) = f(P) определена и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости Oxy, Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru – некоторое разбиение области на элементарные подобласти Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , площади которых также обозначим через Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , а диаметры – через dk. Зафиксируем точки Pk Î Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ,k=1, 2, …n. Выражение

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

называется интегральной суммой для функции f(P) по области G.

Определение.Если существует предел последовательности интегральных сумм Sn при Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru (при этом n ®¥) и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области G на элементарные подобласти Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , ни от выбора точек Pk Î Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

.

Таким образом,

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности:

а) линейность:

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ;

б) аддитивность: если G = G1+G2, то

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область G (рис. 6.1) ограничена кривыми Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , x=a, x=b причём всюду на [a, b] функции Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru непрерывны и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru . Тогда

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ,

причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (x считается постоянной), потом полученный результат интегрируется по x. Интегралы такого вида называются повторными. Если кривая Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru (или кривая Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru ) в промежутке Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru задаётся различными аналитическими выражениями, то следует разбить область интегрирования на части и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru

Рис.6.1 Рис. 6.2

Аналогично, можно построить второй повторный интеграл. Если область G ограничена кривыми Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , y=c, y=d, причём всюду на [c, d] функции Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru непрерывны и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru (рис. 6.2), то

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru .

Замена переменных в двойных интегралах

Пусть функции

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru (1)

осуществляют взаимно-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области Г плоскости Ouv на область G плоскости Oxy. Это означает, что в области G существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru и Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru в области Г отличен от нуля якобиан преобразования, т.е.

Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru , Замена переменных в двойных интегралах - student2.ru . (2)

Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области Г и в то же время как криволинейные координаты точек области G.

Наши рекомендации