Замена переменных в двойном интеграле.
Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j1(x) до j2(х).
Положим х = f(u, v); y = j(u, v)
Тогда dx = ; dy = ;
т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.
, т.е.
пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:
Выражение называется определителем Якобиили Якобианомфункций f(u, v) и j(u, v).
(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)
Тогда
Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:
Двойной интеграл в полярных координатах.
Воспользуемся формулой замены переменных:
При этом известно, что
В этом случае Якобиан имеет вид:
Тогда
Здесь t - новая область значений,
Тройной интеграл.
При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.
Пример. Вычислить интеграл
Замена переменных в тройном интеграле.
Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.
Можно записать:
Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.
Рассмотрим эти преобразования подробнее.
Цилиндрическая система координат.
z
P
z
q x
r
y
Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:
Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:
Итого: