На тему: „Чисельні методи розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь”

Мета роботи: навчитись обчислювати корені нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з наперед заданою точністю, засвоїти метод поділу відрізка навпіл (бісекцій), метод Ньютона, метод простої ітерації.

Теоретичні відомості.

При побудові математичних моделей деяких процесів використовують нелінійні алгебраїчні або трансцендентні рівняння.

Нехай задано рівняння f(x)=0 (23) , де функція f(x) - визначена і неперервна на деякому проміжку [a, b]. Розв’язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень x [a,b] , при яких рівняння f(x)=0 перетворюється в тотожність. Якщо функція f(x) - алгебраїчний многочлен, то рівняння (23) називається алгебраїчним. Якщо функція f(x) містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (1) називають трансцендентним.

Знайти точні значення коренів заданого рівняння можна лише для найпростіших функцій f(x). Нехай - точний корінь, - його наближене значення. Корінь обчислено з заданою точністю , якщо .

Процес наближеного знаходження дійсних коренів складається з двох етапів:

1. Відокремлення, тобто знаходження досить малих відрізків, на кожному з яких міститься один і тільки один дійсний корінь;

2. Уточнення коренів – знаходження кореня рівняння з наперед заданою точністю.

Методи відокремлення коренів:

1. Графічний. Будуємо графік функції, шукані корені отримуємо як точки перетину графіка з віссю ОХ.

2. Аналітичний метод. Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах з курсу математичного аналізу.

В результаті отримуємо відрізки ізоляції коренів рівняння, де є тільки один корінь.

Методи уточнення коренів.

Ці методи застосовуються на відрізках ізоляції коренів, де є тільки один корінь.

а) метод поділу відрізка навпіл (бісекцій)

Нехай рівняння , що має на відрізку [a,b] один дійсний корінь. Позначимо через - точне значення кореня рівняння на відрізку [a,b], - його точність з якою будемо шукати цей корінь. Перевіряємо, щоб довжина відрізка [a,b] була більшою за ((b-a)> ). Сутність методу полягає в тому, що відрізок [a,b] ділять навпіл точкою і обчислюють . Якщо , то с – є точним значенням кореня. Якщо , тоді аналізуємо добуток . В тому випадку, коли , то корінь знаходиться на відрізку [a,с], тому що функція змінює знаки, тому відрізок зменшується вдвічі тобто точка b переміщується в точку с (b=c).

Якщо , то корінь знаходиться на відрізку [с,b], тоді точка . Отриманий відрізок знову поділяємо навпіл. Процес поділу здійснюється до тих пір, поки не буде досягнута задана точність, тобто .

б) метод Ньютона (дотичних)

Метод використовується для рівняння , що має на відрізку [a,b] один дійсний корінь, функції неперервні і зберігають постійні знаки на відрізку [a,b].

Наближення до точного кореня знаходиться за формулою Ньютона, яка має вигляд:

(24)

Процес продовжується доти, поки не буде досягнута задана точність .

Зауваження: за початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку , в якій .

В) метод простої ітерації

Метод застосовується на відрізках, де існує один корінь рівняння . Нехай на відрізку [a,b] рівняння має один дійсний корінь. Нехай задано рівняння , де - неперервна функція. Щоб знайти дійсні корені цього рівняння, замінено це рівняння його канонічною формою .

Якщо для відрізка [a,b] виконується нерівність , то метод простої ітерації можна застосувати (процес ітерацій збігається).

Для уточнення кореня методом простої ітерації використовується формула послідовних наближень

(25)

Оцінка похибки: якщо задана максимально допустима абсолютна похибка , то процес ітерацій слід продовжувати доти, поки для двох послідовних наближень не буде забезпечено виконання нерівності

(26)

де ;

m – мінімальне значення похідної на відрізку [a,b];

M – максимальне значення похідної на відрізку [a,b].

Звідси

Зауваження: зведення рівняння до канонічної форми , для якої виконується умова збіжності, як правило, виконати не просто. Неважко перевірити, що рівняння

(27)

рівносильне рівнянню і має канонічну форму, для якої