Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса

Для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь найчастіше застосовують метод послідовного виключення невідомих, який є універсальним і може бути застосований до довільних сумісних систем. Цей метод був запропонований Карлом Фрідріхом Гауссом (1777-1855) і носить його м.’я. На цей час метод Гаусса залишається одним з найкращих методів розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru (1)

з Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru рівнянь з n невідомими.

Складемо з коефіцієнтів цієї системи основну матрицю Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru

Доповнимо матрицю Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru стовпцем вільних членів.

Визначення. Матриця системи, утворена приєднанням до неї стовпця вільних членів, називається розширеною матрицею системи. Позначається:

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru (2)

Система лінійних алгебраїчних рівнянь (1) цілком визначається своєю розширеною матрицею (2).

Наступне твердження очевидне.

Здійснюючи елементарні перетворення над системою (1), ми здійснюємо елементарні перетворення відповідного вигляду над розширеною матрицею системи (2). Коли ж ми здійснюємо елементарні перетворення над розширеною матрицею(2), то такі ж самі перетворення будуть здійснюватись над самою системою (1).

Теорема. (про елементарні перетворення розширеної матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь ). Якщо розширена матриця однієї системи лінійних алгебраїчних рівнянь отримана з розширеної матриці іншої системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень, то такі системи еквівалентні.

Метод Гаусса полягає в наступному:

Для того щоб розв’язати систему (1), виписуємо розширену матрицю системи Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru (2) і над рядками матриці Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru проводимо елементарні перетворення. Кожен раз після елементарного перетворення отримуємо розширену матрицю нової системи, еквівалентної початковій за теоремою про елементарні перетворення розширеної матриці системи лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому намагаємося привести матрицю Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru до якомога простого вигляду.

Перетворення матриці Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru до еквівалентної матриці трикутно-трапецеїдального виду називається прямим ходом метода Гаусса. Невідомі відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, які відповідають коефіцієнтам, розташованим на головній діагоналі отриманої, називаються базисними, а всі відмінні від базисних – вільними.

Подальше перетворення розширеної матриці до матриці діагонального виду, з якого розв’язок системи (1) видно безпосередньо, називається зворотним ходом метода Гаусса.

Приклад. Розв’язати методом Гаусса систему

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru

Розв’язання. Випишемо розширену матрицю системи і виконаємо над її рядками елементарні перетворення :

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru ~ Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru ~

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru ~ Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru ~

~ Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru ~ Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru

Остання розширена матриця відповідає системі

Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса - student2.ru

Домашнє завдання: вивчити питання лекції.

Лекція підготовлена,

доцентом кафедри вищої математики,

кандидатом фізико-математичних наук ____________Жихарєва Ю.І.

Наши рекомендации