Загальні положення. Тема 6. Розв’язок нелінійних рівнянь та їх систем

Тема 6. Розв’язок нелінійних рівнянь та їх систем

Нелінійним рівнянням називається рівняння, графічне представлення якого являє собою криву лінію.

В залежності від того, які функції входять в рівняння , їх поділяють на алгебраїчні та трансцендентні. Рівняння вважається алгебраїчним, якщо для одержання значення функції по заданому значенню х, потрібно виконувати лише арифметичні дії та піднесення до степені з раціональним показником. Алгебраїчне рівняння завжди можна привести до вигляду: .

Наприклад: , що після перетворення має вигляд .

Якщо в склад функції входять функції показникові ( ), логарифмічні ( , тригонометричні ( ) та інші, то таке рівняння називається трансцендентним.

Приклад: .

Коренем нелінійного рівняння є таке значення , яке при підстановці його в перетворює рівняння в нуль. В залежності від вигляду корені можуть бути як дійсними числами, так і комплексно-спряженими. При обчисленні нелінійних рівнянь нас будуть цікавити дійсні корені. Графічно дійсні корені являють собою точки на осі ОХ координатної площини, в яких графік функції перетинає цю вісь (рисунок 19).

Рисунок 19 – Корені рівняння

Порівняно з трансцендентними рівняннями, для алгебраїчних рівнянь завжди відомо точну кількість їх коренів. Наведемо деякі властивості алгебраїчних рівнянь, що допомагають в їх дослідженні:

а) алгебраїчне рівняння n-ого порядку має n коренів, які можуть бути, як дійсними так і комплексними;

б) кількість додатніх коренів дорівнює кількості змін знаків у послідовності коефіцієнтів (або менше на ціле число – нульові коефіцієнти не враховуються);

в) кількість від’ємних коренів дорівнює (або менша на ціле число) числу змін знаків коефіцієнтів при зміні х на –х.

Із курсу математичного аналізу згадаємо дві теореми:

1. Якщо функція на відрізку неперервна і набуває на кінцях цього відрізка різних знаків, то в середині цього відрізка існує принаймні один корінь рівняння :

(6.1)

2. Якщо функція має похідну, що не змінює знака на відрізку , то при виконанні умови попередньої теореми рівняння має на цьому відрізку єдиний (відокремлений) корінь:

(6.2).

Зміст цих теорем демонструє рисунок 20.

Рисунок 20 – Умови існування відокремленого кореня

Будемо використовувати критерії (6.1) та (6.2) при знаходженні коренів рівняння .

Процес їх одержання поділяється на два етапи:

1. На етапі відокремлення коренів на осі ОХ знаходяться такі відрізки в середині яких знаходиться єдиний корінь.

2. На етапі уточнення коренів діапазон звужують допоки значення функції в звуженому діапазоні з заданою точністю не стане рівним нулю.