Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь

1. Постановка задачі

2. Метод Ейлера

3. Метод Рунге-Кутта

4. Багатокроковий метод Адамса

5. Багатокроковий метод Мілна

Багато інженерних задач приводять до необхідності знаходження розв`язку диференціального рівняння, що задовольняє певним початковим умовам. Однак одержати точне розв`язання диференціального рівняння вдається лише в певних спеціальних випадках, але навіть тоді часто одержують вираз, що містить шукану функцію в неявному вигляді, що затрудняє його використання.

Тому в інженерній практиці приходиться користуватися наближеними методами інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи умовно поділяють на аналітичні, або методи побудови наближених формул, чисельні методи, коли шуканий розв`язок одержують в табличному вигляді і графічні.

Задача відшукання розв`язку диференціального рівняння при заданих початкових умовах називається задачею Коші.

Нехай задане диференціальне рівняння першого порядку у вигляді у=f(x,y) (1) і початкові умови у(х0)=у0 (2). Задача Коші полягає в тому, щоб знайти функцію у=у(х), що являється розв`язком рівняння (1) і задовільняє умови (2). Очевидно, лише в цьому випадку, коли відомо, що розв`язок задачі Коші існує і єдиний, має зміст говорити про відшукання його наближеного представлення.

Із теорії диференціальних рівнянь відомо, що якщо в деякій області D площини х0у, що містить точку (х00), функція f(x,y) неперервна і має неперервну частинну похідну Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru , то в деякому околі точки х0 існує єдина функція у=у(х), що являється розв`язком рівняння (1) і задовольняє початкові умови (2) (теорема Коші).

Аналогічно ставиться задача Коші для :

а) диференційованого рівняння другого порядку, представленого у вигляді у=f(x,y,y) (3), при початкових умовах у(х0)=у0, у(x0)=y0. Потрібно знайти функцію у=у(х), що являється розв`язком рівняння (3) і задовольняє умовам (4).

б) системи двох диференціальних рівнянь першого порядку, представленої у вигляді

Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru (5) при початкових умовах x(t0)=x0, y(t0)=y0. (6)

Треба знайти функції х=х(t), y=y(t), що являються розв`язком системи (5) і задовольняє умови (6);

в) системи трьох диференціальних рівнянь першого порядку, представленої у вигляді

Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru (7)

при початкових умовах.

Метод Ейлера для розв’язання диференціального рівняння першого порядку. Розглянемо задачу відшукання наближеного розв’язку диференціального рівняння у=f(x,y) (1) при початкових умовах у(х0)=у0 (2) на відрізку [x0;x0+a].

При відшуканні чисельного розв’язку задачі (1), (2) відрізок [x0;x0+a] розбивають на n рівних частинних відрізки, довжина яких h= Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru . Число h називається кроком інтерполяції (чи просто кроком). Наближене значення шуканої функції у=у(х) відшукується в точках поділу х0, х10+h, x2=x1+h, …, xn=xn-1+h=x0+a.

Метод Ейлера являється найбільш простим із всіх методів чисельного розв`язання диференціальних рівнянь. Геометрично він полягає в тому, що на малому відрізку [x;x+h] інтегральна крива у=у(х) диференціального рівняння (1) заміняється відрізком її дотичної в точці (х;у(х)). Так, на першому відрізку [x0;x1] із точки М000) проводимо дотичну до інтегральної кривої, тобто пряму з кутовим коефіцієнтом у(x0)=f(x0,y0), рівняння якої у-у0=f(x0,y0)(x-x0). Визначаємо точку перетину прямої з прямою, паралельною осі оу і та що проходить через точку х1, тобто з прямою х=х1. Підставивши х=х1 в рівняння дотичної, одержимо у10+f(х00)(х-х0)=y0+f(х00)h. Число у1 вважають наближеним значенням розв’язку в точці х1. Повторимо ту саму процедуру на відрізку [x1;x2]. А іменно, побудуємо дотичну до інтегральної кривої, що проходить через точку М111), тобто пряму з кутовим коефіцієнтом у(x1)=f(x1,y1), рівняння якої у-у1=f(x1,y1)(x-x1), і відшукуємо ординату у2 точки М222), що лежить на прямій у21+f(x1,y1)(x2-x1)=y1+f(x1,y1)h. Число у2 вважається наближеним значенням розв’язання в точці х2.

Продовжуємо цю процедуру до тих пір, поки не отримаємо відрізок [xn-1;xn=x0+a] і не визначемо уn=yn-1+f(xn-1,yn-1)h – ординату точки Мn(xn;yn). Число уn вважаємо наближеним значенням розв’язку в точці хn.

З’єднавши точки М01,...,Мn, одержимо ламану, яка наближено представляє інтегральну криву диференціального рівняння. Цю ламану прийнято називати ламаною Ейлера. Рівнянням її є кусково-лінійна функція, яка являється наближеним розв’язанням задачі (1), (2) на відрізку [x0;x0+a].

Метод Рунге-Кутта найбільш часто застосовується при чисельному розв’язанні задачі Коші і дозволяє одержувати наближення високої точності. Геометрично цей метод для задачі Коші (нехай задане диференціальне рівняння першого порядку у вигляді у=f(x,y) (1) і початкові умови у(х0)=у0 (2). Задача Коші полягає в тому, щоб знайти функцію у=у(х), що являється розв`язком рівняння (1) і задовільняє умови (2)) також полягає в тому, що на малому відрізка [х; x+h] інтегральна крива y=y(x) рівняння (1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х;у=у(х)). Однак в основу методу покладений біль тонкий, ніж в методі Ейлера, підхід до визначення напряму цього відрізку прямої.

Нехай відрізок [x0;x0+a] розділений на n рівних частин точками x0, x1,...,хк, хк+1,..., хn=x0+a(xk+1-xk= =h) і визначені наближені значення у0,...,ук розв’язку диференціального рівняння відповідно в точках x0,..., xк. Переходимо до відрізку[xk; xk+1] і до відшукання ук+1. Визначаємо а=f(xk;yk) – напрямок дотичної до інтегральної кривої в точці Mk(xk;yk), і точку перетину прямих y-yk(x-xk) і х=хк+ Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru ,тобто точку N Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru . Знаходимо напрям дотичної в точці N Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru : а2к=f Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru і з точки Мк проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом а2к: y-yk(x-xk) до перетину з прямою х=хк+ Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru . Одержимо точку N Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru . Знаходимо напрям дотичної в точці N Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru : а3к=f Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru і з точки Мк проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом а: y-yk= а (x-xk) до перетину з прямою х=хк+h. Одержуємо точку М Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru к+h,ykh). Далі визначаємо напрям дотичної в точці М Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru : а4к=f Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru . В кінці напрям відрізка ламаної, що представляє наближений розв’язок задачі, покладають рівним ак=1/6(а+2а+2а) і проводимо з точки Mk пряму y-ykк(x-xk) до перетину з прямою х=хк+h в точці Mk+1(xk+1;yk+1), де yk+1ккh вважають наближеним значенням розв’язку в точці xk+1к+h.

Метод будемо називати однокроковим, якщо для отримання розв’язку на к-тому кроці будемо використовувати лише розв’язок отриманий лише на к-тому кроці. Якщо для отримання розв’язку на к-тому кроці використовуватимемо декілька попередніх кроків (найчастіше чотири), то метод будем називати багатокроковим.

Метод Адамса є багатокроковим і використовує розв’язки у чотирьох точках, які знайдені за допомогою однокрокового методу. Метод Адамса грунтується на принципі знаходження значення уі+1, з його допомогою обчислюють fi+1 і використовуючи fi+1 і ще декілька попередніх розв’язків у точках хі, хі-1і-2 проводять уточнення уі+1. Для методу Адамса формула має вигляд:

уі+1і+ Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru (55*fi-59*fi-1+37fi-2-9fi-3), де fi=f(xi,yi).

За даним уі+1 обчислюють fi+1=f(xi+1,yi+1) і уточнюють уі+1:

уі+1і+ Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru (9*fi+1+19*fi-5fi-1+fi-2). Дана формула отримується з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.

Метод Мілна являється багатокроковим методом четвертого порядку. Для його початку необхідно знайти будь-яким однокроковим методом чотири значення шуканого розв’язку у0, у1, у2, у3. Подальші обчислення проводяться по схемі:

1. 1. По чотирьох попередніх точках передбачаються наступні значення уі+1:

Уі+1наближенеі-3+ Лекції: Наближені методи розв'язування звичайних диференціальних рівнянь - student2.ru h(2fi-fi-1+2fi-2), де fi=f(xi,yi); (i=3,4,5,…)

2. 2. Обчислюємо значення правої частини рівняння fi+1наближене=f(xi+1;yi+1наближене).

3. 3. Коректуємо значення уі+1:

уі+1уточненеі-1+h/3(fi-1+4fi+fi+1наближене), (і=3,4,...)

Гранична абсолютна похибка значення уі в методі Мілна рівна Еі=1/29|yiнаближенеіуточнене|

Наши рекомендации