Производные высших порядков явно заданной функции
Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.
Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"
Итак, у"=(у')'.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:
y(n)=(y(n-1))¢ .
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).
40. Двойной интеграл.
Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как
где R - область интегрирования в плоскости Oxy
41.
42. Определение двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxyзадана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция .
Разобьём область D произвольным образом на подобластей (не имеющих общих внутренних точек). Символом будем обозначать площадь области ; символом здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D
43. Вторая теорема о среднем значении касается свойств интеграла от произведения двух функций 
Вторая теорема о среднем значении. Если функция f(x) монотонна (нестрого) на отрезке [a,b], а функция g(x) интегрируема на [a,b], то существует точка 
такая, что 
44. Вычисление двойного интеграл водится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла.
45. Геометрическая интерпретация двойного интеграла
46. Замена переменных в решении двойного интеграла.
Для вычисления двойного интеграла 
иногда удобнее перейти в другую систему координат.
Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции.
В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.
Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой
47. Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат.
Якобиан такого преобразования имеет вид
48. Интеграл Пуассона.
49. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
Пусть поверхность S определяется уравнением z = f (x, y). Поверхность S предполагается гладкой в каждой точке этой поверхности, то есть существует нормаль к поверхности в каждой её точке. Пусть D есть область определения функции на координатной плоскости Оху. Площадь поверхности над областью D вычисляется по формуле
49. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
Пусть поверхность S определяется уравнением z = f (x, y). Поверхность S предполагается гладкой в каждой точке этой поверхности, то есть существует нормаль к поверхности в каждой её точке. Пусть D есть область определения функции на координатной плоскости Оху. Площадь поверхности над областью D вычисляется по формуле