Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями

Лекция 6. Понятие о логарифмической производной. Производные высших порядков. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Исследование функций и построение графиков с применением производных.

Производная логарифмической функции

Рассмотрим логарифмическую функцию Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru . Переходя к пределу при Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru получим Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru . Следовательно Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru . В частности Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Понятие о логарифмической производной

Рассмотрим сложную функцию Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производная от логарифмической функции называется логарифмической производной функции.

Пример Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Таблица формул дифференцирования

№пп Функция и ее производная
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производная функции, заданной параметрическими уравнениями

Зависимость между переменными x,y иногда удобно задавать двумя уравнениями Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru (1), где t – вспомогательная переменная, (параметр). Например, в механике t – время, уравнения (1) – параметрические уравнения траектории движущейся точки.

В общем случае, уравнения (1) определяют y как сложную функцию относительно x. Разрешив первое уравнение системы (1) относительно параметра t (если это возможно), получим Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru функция, обратная к функции Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru .

Далее, исключая из уравнений (1) параметр t, получаем Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru (2). Пользуясь формулой (2) легко найти производную Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru как производную сложной функции.

Кроме того, существует правило для нахождения Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , не требующее исключение параметра t (параметр невозможно исключить).

Теорема

Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , где Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru - дифференцируемые функции и Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , то производная этой функции есть Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru (3)

Доказательство

В цепочке равенств Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , где Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru - обратная функция по отношению к функции Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , будем рассматривать t как промежуточный аргумент. Тогда, согласно правила дифференцирования сложной функции будем иметь

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru (4)

Применяя правило дифференцирования обратной функции получим Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru (5). Из (4) и (5) получаем Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru .

В обозначениях Лейбница Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Пример Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков

Производная f’(x) функции f(x) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Вполне допустимо, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной.

Обозначение

f”(x)=[f’(x)]’

Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка или третьей производной

Обозначение

f”’(x)=[f”(x)]’ и так далее.

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru - производная n – го порядка.

Пример

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями

Пусть функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , (1) где Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru - дифференцируемые функции и Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru . Причем на отрезке Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru функция Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru имеет обратную функцию Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru .

Для первой производной имеет место формула Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru (2).

Для нахождения второй производной Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru дифференцируем по х равенство (2) имя в виду, что t есть функция от х.

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru или Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru (3)

Аналогичным образом можно найти производные Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Пример

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Решение

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Формула Лейбница

На производные высших порядков распространяются общие правила дифференцирования. Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции, то Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru .

Выведем формулу Лейбница, дающую возможность вычислить производную n – го порядка от произведения двух функций, то есть Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru . Для того, чтобы вывести эту формулу найдем сначала несколько производных, а затем установим общий закон, пригодный для вычисления производной любого порядка.

y=uv

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и заключается в следующем:

Надо выражение Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном выражении, заменить показатели степеней для u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени ( Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , входящие в крайние элементы разложения, надо заменить самими функциями (то есть производными нулевого порядка).

Получаем

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru - формула Лейбница.

Строгое доказательство этой формулы можно было бы провести методом математической индукции.

Пример

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Решение

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru , тогда

Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими уравнениями - student2.ru

Наши рекомендации