Примеры для самостоятельного решения

1. Для изучения продуктивности крупного рогатого скота собрана случайная повторная выборка (Х – годовой удой в тыс. кг на одну корову, n – число коров).

Таблица 1.

Хi	2,5 – 2,8	2,8 – 3,1	3,1 – 3,4	3,4 – 3,7	3,7 – 4,0	4,0 – 4,3	4,3 – 4,6	4,6 – 4,9
ni

Найти:

1) доверительные интервалы для неизвестного среднего надоя всей генеральной совокупности и генеральной дисперсии с надежностью 0,95;

2) вероятность того, что выборочная доля коров, имеющих годовой удой более 4 тыс. кг, отличается от генеральной доли не более, чем на 10% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при которой те же границы для среднего удоя можно гарантировать с надежностью 0,975.

2. Выборочные исследования плодов нового сорта вишни (считать выборку случайной повторной) на сахаристость дали следующие результаты
(Х – процент содержания сахара, n – количество плодов).

Таблица 2.

Хi	11,0 – 11,5	11,5 – 12,0	12,0 – 12,5	12,5 – 13,0	13,0 – 13,5	13,5 – 14,0
ni

Найти:

1) доверительные интервалы для и s², в которых с надежностью 0,95 заключены истинные значения параметров генеральной совокупности;

2) вероятность того, что выборочная доля w плодов с сахаристостью более 13% отличается от генеральной доли не более, чем на 5% (по абсолютной величине;

3) объем повторной выборки, при которой те же границы для средней сахаристости можно гарантировать с надежностью 0,975.

3. При определении норматива времени на выполнение некоторой операции выборочный хронометраж (выборка случайная повторная) показал следующие результаты (Х – время в минутах, n – количество рабочих).

Таблица 3.

Хi	2 – 4	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 – 12	12 – 14	14 – 16	16 – 18
ni

Найти:

1) доверительные интервалы для и s² при надежности g = 0,95;

2) вероятность того, что выборочная доля рабочих, тратящих на выполнение операции менее 6 часов, отличается от генеральной доли таких рабочих не более, чем на 10% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при которой те же границы доверительного интервала можно гарантировать с надежностью 0,99.

4. Выборочные данные по заработной плате рабочих (выборка случайная повторная) отражены в следующей таблице (Х – заработная плата в у.е.,
n – число рабочих).

Таблица 4.

Хi	200 – 210	210 – 220	220 – 230	230 – 240	240 – 250	250 – 260
ni

Найти:

1) доверительные интервалы для и s² при надежности 0,95;

2) вероятность того, что выборочная доля w рабочих, получающих зарплату менее 230 у.е., отличается от генеральной доли р таких же рабочих менее, чем на 5% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при которой те же границы для можно гарантировать с надежностью 0,975.

5. Из большой партии по схеме случайной повторной выборки было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия. Получены следующие результаты (Х – процент влажности, n – число изделий).

Таблица 5.

Хi	11 – 13	13 – 15	15 – 17	17 – 19	19 – 21
ni

Найти:

1) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключены и s²;

2) вероятность того, что генеральная доля изделий из древесины с влажностью менее 15% отличается от выборочной доли таких же изделий менее чем на 5% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при которой те же границы можно гарантировать для с надежностью 0,975.

6. Для изучения загруженности студентов 2-го курса некоторого вуза составлена случайная повторная выборка. Получены следующие результаты (Х – время, затрачиваемое студентами на самостоятельную работу в неделю, n – число студентов).

Таблица 6.

Хi	менее 5	5 – 8	8 – 11	11 – 14	14 – 17	17 – 20	более 20
ni

Найти:

1) границы, в которых с надежностью 0,95 заключено среднее время и генеральная дисперсия СВ Х;

2) вероятность того, что доля студентов, тратящих на самостоятельную работу более 17 часов, отличается от доли таких студентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при котором те же границы для среднего времени самостоятельной работы можно гарантировать с надежностью 0,975.

7. При изучении длины стебля кукурузы случайная повторная выборка дала следующие результаты (Х – длина стебля, n – число стеблей).

Таблица 7.

Хi	1,6 – 1,8	1,8 – 2,0	2,0 – 2,2	2,2 – 2,4	2,4 – 2,6	2,6 – 2,8	2,8 – 3,0
ni

Найти:

1) границы, в которых с надежностью 0,95 находятся значения и s;

2) вероятность того, что выборочная доля стеблей кукурузы, имеющей длину стебля менее 2,2 м, отличается от генеральной доли не более, чем на 10% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при котором те же границы для можно гарантировать с надежностью 0,99.

8. Для изучения эффективности новой технологии собрана случайная повторная выборка изменения производительности труда рабочих (%). Получены следующие результаты (Х – изменение производительности в %, n – число рабочих).

Таблица 8.

Хi	6,4 – 6,5	6,5 – 6,6	6,6 – 6,7	6,7 – 6,8	6,8 – 6,9
ni

Найти:

1) границы, в которых с надежностью 0,95 заключены значения и s;

2) вероятность того, что генеральная доля рабочих, повысивших производительность менее чем на 6,6%, отличается от выборочной доли не более, чем на 10% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при которой те же границы можно гарантировать для с надежностью 0,99.

9. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Вес коробки является случайной величиной. Для изучения большой партии собрана случайная повторная выборка. Получены следующие данные (Х – вес коробки,
n – число коробок).

Таблица 9.

Хi	950 – 975	975 – 1000	1000 – 1025	1025 – 1050	1050 – 1075
ni

Найти:

1) доверительные интервалы с надежностью 0,95 для неизвестных параметров генеральной совокупности и s;

2) вероятность того, что выборочная доля w коробок весом более 1025 г отличается от генеральной доли не более чем на 5% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при котором те же границы для можно гарантировать с надежностью 0,99.

10. Для определения количества витамина С, содержащегося в черной смородине взяты 90 проб. Поскольку объем генеральной совокупности очень большой, выборку можно считать случайной повторной. Результаты проб приведены в таблице 10 (Х – количество витамина С на 100 г в миллиграммах, n – количество проб).

Таблица 10.

Хi	140 – 180	180 – 220	220 – 260	260 – 300	300 – 340
ni

Найти:

1) доверительные интервалы для неизвестных параметров генеральной совокупности и s с надежностью 0,95;

2) вероятность того, что выборочная доля ягод с удельным содержанием витамина С более 260 мг отличается от генеральной доли более чем на 5% (по абсолютной величине);

3) объем повторной выборки, при котором тот же доверительный интервал для можно гарантировать с надежностью 0,975.

Приложение II.

Таблица значений функции Лапласа

Целые и десятые доли х	Сотые доли х
0,0	0,0000	0,0080	0,0160	0,0239	0,0319	0,0399	0,0478	0,0888	0,0638	0,0717
0,1	0,0797	0,0876	0,0955	0,1034	0,1113	0,1192	0,1271	0,1350	0,1428	0,1507
0,2	0,1585	0,1663	0,1741	0,1819	0,1897	0,1974	0,2051	0,2128	0,2205	0,2282
0,3	0,2358	0,2434	0,2510	0,2586	0,2661	0,2737	0,2812	0,2886	0,2960	0,3035
0,4	0,3108	0,3182	0,3255	0,3328	0,3401	0,3473	0,3545	0,3616	0,3688	0,3759
0,5	0,3829	0,3899	0,3969	0,4039	0,4108	0,4177	0,4245	0,4313	0,4381	0,4448
0,6	0,4515	0,4581	0,4647	0,4713	0,4778	0,4843	0,4907	0,4971	0,5035	0,5098
0,7	0,5161	0,6223	0,5285	0,5346	0,5407	0,5467	0,5527	0,5587	0,5646	0,5705
0,8	0,5763	0,5821	0,5878	0,5935	0,5991	0,6047	0,6102	0,6157	0,6211	0,6265
0,9	0,6319	0,6372	0,6424	0,6476	0,6528	0,6579	0,6629	0,6679	0,6729	0,6778
1,0	0,6827	0,6875	0,6923	0,6970	0,7017	0,7063	0,7109	0,7154	0,7199	0,7243
1,1	0,7287	0,7330	0,7373	0,7415	0,7457	0,7499	0,7540	0,7580	0,7620	0,7660
1,2	0,7699	0,7737	0,7775	0,7813	0,7850	0,7887	0,7923	0,7959	0,7984	0,8029
1,3	0,8064	0,8098	0,8132	0,8165	0,8198	0,8230	0,8262	0,8293	0,8324	0,8355
1,4	0,8385	0,8415	0,8444	0,8473	0,8501	0,8529	0,8557	0,8584	0,8611	0,8688
1,5	0,8664	0,8690	0,8715	0,8740	0,8764	0,8789	0,8812	0,8836	0,8859	0,8882
1,6	0,8904	0,8926	0,8948	0,8969	0,8990	0,9011	0,9031	0,9051	0,9070	0,9090
1,7	0,9109	0,9127	0,9146	0,9164	0,9181	0,9199	0,9216	0,9233	0,9249	0,9265
1,8	0,9281	0,9297	0,9312	0,9327	0,9342	0,9357	0,9371	0,9385	0,9392	0,9412
1,9	0,9426	0,9439	0,9451	0,9464	0,9476	0,9488	0,9500	0,9512	0,9523	0,9533
2,0	0,9545	0,9556	0,9566	0,9576	0,9586	0,9596	0,9606	0,9616	0,9625	0,9634
2,1	0,9643	0,9651	0,9660	0,9668	0,9676	0,9684	0,9692	0,9700	0,9707	0,9715
2,2	0,9722	0,9729	0,9736	0,9743	0,9749	0,9756	0,9762	0,9768	0,9774	0,9780
2,3	0,9786	0,9791	0,9797	0,9802	0,9807	0,9812	0,9817	0,9822	0,9827	0,9832
2,4	0,9836	0,9841	0,9845	0,9849	0,9853	0,9857	0,9861	0,9865	0,9869	0,9872
2,5	0,9876	0,9879	0,9883	0,9886	0,9889	0,9892	0,9895	0,9898	0,9901	0,9904
2,6	0,9907	0,9910	0,9912	0,9915	0,9917	0,9920	0,9922	0,9924	0,9926	0,9928
2,7	0,9931	0,9933	0,9935	0,9937	0,9939	0,9940	0,9942	0,9944	0,9946	0,9947
2,8	0,9949	0,9951	0,9952	0,9953	0,9955	0,9956	0,9958	0,9959	0,9960	0,9961
2,9	0,9963	0,9964	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972
3,0	0,9973	0,9974	0,9975	0,9976	0,9976	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980
3,1	0,9981	0,9981	0,9982	0,9983	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986
3,2	0,9986	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,3	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,4	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995	0,9995
3,5	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997	0,9997
3,6	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998	0,9998	0,9998
3,7	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,9	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
4,0	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999

Приложение IV.

Значение t_g,k – критерия Стьюдента

Число степеней свободы	Вероятность g
0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
	0,16	0,32	0,51	0,73	1,00	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66
	0,14	0,29	0,44	0,62	0,82	1,06	1,34	1,89	2,92	4,30	6,96	9,92
	0,14	0,28	0,42	0,58	0,76	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
	0,13	0,27	0,41	0,57	0,74	0,94	1,19	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60
	0,13	0,27	0,41	0,56	0,73	0,92	1,16	1,48	2,01	2,57	3,36	4,03
	0,13	0,26	0,40	0,55	0,72	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
	0,13	0,26	0,40	0,55	0,71	0,90	1,12	1,41	1,89	2,36	3,00	3,50
	0,13	0,26	0,40	0,55	0,70	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,35
	0,13	0,26	0,40	0,54	0,70	0,88	1,10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25
	0,13	0,26	0,40	0,54	0,70	0,88	1,09	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17
	0,13	0,26	0,40	0,54	0,70	0,88	1,09	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11
	0,13	0,26	0,39	0,54	0,69	0,87	1,08	1,36	1,78	2,18	2,68	3,05
	0,13	0,26	0,39	0,54	0,69	0,87	1,08	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01
	0,13	0,26	0,39	0,54	0,69	0,87	1,08	1,34	1,76	2,14	2,62	2,98
	0,13	0,26	0,39	0,54	0,69	0,87	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,07	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,07	1,33	1,74	2,11	2,57	2,90
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,07	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,07	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,06	1,32	1,72	2,09	2,53	2,84
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,06	1,32	1,72	2,08	2,52	2,83
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,69	0,86	1,06	1,32	1,72	2,07	2,51	2,82
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,86	1,06	1,32	1,71	2,07	2,50	2,81
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,48	2,79
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,86	1,06	1,31	1,71	2,06	2,48	2,78
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,85	1,06	1,31	1,70	2,05	2,47	2,77
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,85	1,06	1,31	1,70	2,05	2,47	2,76
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,85	1,05	1,31	1,70	2,04	2,46	2,76
	0,13	0,26	0,39	0,53	0,68	0,85	1,05	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75
	0,13	0,25	0,39	0,53	0,68	0,85	1,05	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70
	0,13	0,25	0,39	0,53	0,68	0,85	1,05	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66
	0,13	0,25	0,39	0,53	0,68	0,84	1,04	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62
> 120	0,13	0,25	0,38	0,52	0,67	0,84	1,04	1,28	1,64	1,96	2,33	2,58