Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство −а_n − A−< ε.

Пример 2.17. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности равен нулю.

Решение.

Пусть ε > 0. Составим неравенство и решим его относительно n. Получаем:

Итак, для любого ε > 0 существует такой номер (или целой части дроби), что для всех выполняется неравенство , т. е. предел последовательности равен нулю. Например, при ε = 0,1 N = 21.

2.88. Доказать, используя определение предела последовательности, что

;

Пример 2.18. Найти предел последовательности .

Решение.

2.89. Найти предел последовательности:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

2.90. Вычислить пределы, используя равенство

Числовые ряды

Определение. Числовым рядом называется сумма

где а_п

Пример 2.19 .

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если

где частичная сумма ряда;

S − сумма ряда.

В противном случае ряд называется расходящимся.

2.91. Записать формулу общего члена ряда:

2.92. Найти сумму числового ряда:

1) 2) 3)

Достаточный признак расходимости ряда

Если то ряд расходится.

Пример 2.20.

Ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т. к.

Признаки сходимости рядов с положительными членами:

1. Признак сравнения.

Пусть и − ряды с положительными членами. Если

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

2. Признак Даламбера.Пусть

Если l < 1, то ряд сходится.

Если l > 1, то ряд расходится.

3. Радикальный признак Коши. Пусть

Если l < 1, то ряд сходится.

Если l > 1, то ряд расходится.

4. Интегральный признак Коши.Пусть f(x) − непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞) функция. Тогда ряд сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл

Пример 2.21.

Исследовать на сходимость ряд:

Решение.

1. необходимо применить один из признаков сходимости положительных рядов – признак сравнения.

При ~ ~ сравним исходный ряд с расходящимся рядом .

исходный ряд расходится.

2. Применим признак Даламбера (найдем ):

ряд сходится.

3. Применим радикальный признак Коши (найдем ):

ряд расходится.

4. Применим интегральный признак Коши. Функция непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞).

Интеграл сходится, следовательно, и ряд сходится.

Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

2.93. Исследовать ряд на сходимость:

2) 3)

5) 6) 7) 8)

17) 18) 19) 20)

2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется сумма

где а_п

Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а₀), т. е. область его сходимости не пуста.

Схема нахождения области сходимости степенного ряда:

1. Найти радиус сходимости ряда

Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R).

2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = −R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу.

Пример 2.22.

Найти область сходимости степенного ряда: 1) ; 2) .

Решение.

Найдем радиус сходимости ряда:

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − сходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится абсолютно, т. к. ряд сходится.

Ответ: [–1; 1].

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − расходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится по признаку Лейбница ( члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине).

Ответ: [–1; 1).

2.95. Найти область сходимости степенного ряда:

1) ; 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)

~

Разложения в ряд Маклорена некоторых функций

2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда:

1) 2) 3) 4) ;

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда):

1) 2)

3) 4)

Указание.Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена.

Формула Тейлора (разложение функции в ряд

по степеням (х – а))

~

2.98. Разложить в ряд функцию:

1) по степеням (х – 1);

2) по степеням (х + 1);

3) по степеням (x + 2);

4) по степеням (x – 1).

2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) 10)

Контрольные задания

1. Исследовать ряд на сходимость:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

1) 2) 3)

3. Найти область сходимости ряда:

1) 2) 3)

4. Разложить в ряд функцию:

по степеням (х–1);

по степеням (х+1);

по степеням (x+2).

5. Вычислить приближенно с заданной точностью:

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б)