Частные коэффициенты корреляции

Часто возникает необходимость исследовать частную корреляцию между переменными при исключении - элиминировании - влияния остальных переменных. Выборочный частный коэффициент корреляции между переменными Х_i и X_j при фиксированных остальных р-2 переменных определяется выражением:

ri-j,1,2,...,p = ,

(4.9)

где q_ii и q_jj - алгебраические дополнения элементов r_ii и r_jj матрицы коэффициентов корреляции (для частного случая р=3):

.

(4.10)

Пример 4.4.

Записать выражение (4.9) для случая трех переменных (р=3) относительно частного коэффициента корреляции r_1-2,3 и вычислить его значение на основе корреляционной матрицы (4.10).

Решение.

Построим алгебраические дополнения на основе матрицы (4.10), а затем и само выражение (i=1, j=2, k=3):

q11=+(1- )=0,75

q22=+(1- )=0,64

q12= -(r12- r13 r23)=-0,40

.

(4.11)

Если взять значения коэффициентов корреляции r₁₂=0,6; r₁₃= r₂₃=0,8, то получим отрицательное значение частного коэффициента корреляции: r_1-2,.3=-0,11.

Смысл частного коэффициента можно получить из следующих рассуждений. Пусть имеется уравнение регрессии х₁=bо+b₁х₂+b₂х₃+e. Требуется оценить корреляцию между Х₁ и Х₂ при исключении влияния Х₃.

Для решения найдем два уравнения регрессии:

=b_о+b₁х₃ и = + х₃.

Коэффициент корреляции между остатками и отражает тесноту частной корреляции между переменными Х₁ и Х₂.

Таким образом, обычный коэффициент корреляции между остатками равен частному коэффициенту между самими переменными.

Как и обычный, частный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Значимость частного коэффициента корреляции r_{i-j,1,2,...,p} оценивается так же, как и обычного коэффициента r, полагая объем выборки n’=n-p+2.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие алгебраические и содержательные неприятности влечет высокая мультиколлинеарность?

2. Как выявляют и уменьшают степень мультиколлинеарности по матрице парных коэффициентов корреляции?

3. В чем суть метода отбора значащих факторов и уменьшения мультиколлинеарности методом вращения факторов?

4. Сколько нужно построить уравнений регрессий и вычислить оценок остаточной дисперсии s² при отборе факторов методом вращения для исходного уравнения с четырьмя объясняющими переменными?

5. Приведите произвольный исходный числовой пример для метода Чоу с двумя парами выборок.

6. Нарисуйте бинарное дерево классификации регрессии.

7. К какому классу нелинейности относится регрессия

у = b_о+ b₁ / x + e?

8. Приведите степенную функцию: у = b_о x^b1e к линейному виду. К какому классу нелинейностей относится эта функция?

9. Что означает “средний коэффициент эластичности”?

10. У какой функции регрессии функция эластичности есть константа?

11. Какой смысл и какие размерности имеют переменные и параметры функции Кобба-Дугласа? Получите сами значения частных коэффициентов эластичности этой функции.

12. Что называется элиминированием переменных?

13. В чем смысл частного коэффициента корреляции?