Парные коэффициенты корреляции. Коэффициент множественной корреляции. Расчет частных коэффициентов детерминации модели

Парные коэффициенты корреляции используются для измерения тесноты связи между двумя переменными без учета их взаимодействия с другими переменными.

Например,

С помощью парного линейного коэффициента корреляции выявляется связь между двумя признаками, один из которых можно рассматривать как результативный, другой — как факторный. Но в действительности на результат воздействуют несколько факторов. В связи с этим возникают два типа задач: задачи измерения комплексного влияния на результативную переменную нескольких переменных и задачи определения тесноты связи между двумя переменными при фиксированных значениях остальных переменных. Задачи первого типа решаются с помощью множественных коэффициентов корреляции, задачи второго типа — с помощью частных коэффициентов корреляции.

Коэффициент множественной корреляции (R) характеризует тесноту связи между результативным показателем и набором фактор­ных показателей:

где σ²— общая дисперсия эмпирического ряда, характеризующая общую вариацию результативного показателя (у) за счет факторов;

σ_ост²— остаточная дисперсия в ряду у, отражающая влияния всех факто­ров, кроме х;

у — среднее значение результативного показателя, вычисленное по ис­ходным наблюдениям;

s — среднее значение результативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии.

Коэффициент множественной корреляции принимает только поло­жительные значения в пределах от 0 до 1. Чем ближе значение коэффи­циента к 1, тем больше теснота связи. И, наоборот, чем ближе к 0, тем за­висимость меньше. При значении R < 0,3 говорят о малой зависимости между величинами. При значении 0,3 < R < 0,6 говорят о средней тесноте связи. При R > 0,6 говорят о наличии существенной связи.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом детерминации (D): D = R². Коэффициент детермина­ции показывает, какая доля вариации результативного показателя свя­зана с вариацией факторных показателей. В основе расчета коэффици­ента детерминации и коэффициента множественной корреляции лежит правило сложения дисперсий, согласно которому общая дисперсия (σ²) равна сумме межгрупповой дисперсии (δ²) и средней из групповых дис­персий σ_i²):

σ²=δ² + σ_i².

Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость результа­тивного показателя за счет изучаемого фактора, а средняя из групповых дисперсий отражает колеблемость результативного показателя за счет всех прочих факторов, кроме изучаемого.

Математические модели корреляционного анализа в форме коэф­фициентов имеют ограниченные аналитические возможности. Зная лишь направление ковариации показателей и тесноту связи, невозмож­но определить закономерности формирования уровня результативного показателя под влиянием исследуемых факторов, оценить интенсив­ность их влияния, классифицировать факторы на основные и второсте­пенные. Для этих целей используютсямодели регрессионного анализа. Линейная модель (уравнение) регрессионного анализа может быть пред­ставлена в виде

у = bo + b₁x₁+ b₂x₂ +... + b_nx_n,

где у — результативный показатель;

x₁, x₂, ..., x_n — факторные модели;

b₀, b₁, b₂, ..., b_n — коэффициенты регрессии.

Частный коэффициент детерминации показывает, насколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии. Он рассчитывается по формуле

Частный коэффициент детерминации - это Предельный (граничный) вклад Го регрессора в .Он показывает, на какую величину УменьшаетсяКоэффициент детерминации, если Й регрессор (и только он!) будет исключен из группы регрессоров.

Таким образом:

Здесь:

Коэффициент детерминации, который получается при включении всех регрессоров;

Квадрат вычисленного значения Статистики для Го регрессионного коэффициента;

Длина ряда наблюдений;

Количество регрессоров;

Число степеней свободы.

Расчетное значение Статистики для Го регрессионного коэффициента при может быть определено по формуле:

.