Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды, полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исх ряд.

, область сход-ти (-R;R). Тогда для x (-R;R) ряд f(x) можно почленно дифференцировать. Также его можно почленно интегрировать для всех x (a,b)<(-R;R). .

++. Признаки сравнения рядов

1-й признак сравнения:

Пусть (1) и (2) с неотриц членами. Тогда если вып-ся нер-во начиная с некот n, то если ряд 2 сх-ся, то и ряд 1 сх-ся, а если ряд 1 расх-ся, то и ряд 2 расх-ся.

2-й признак сравнения:

Пусть заданы ряд (1) и (2), члены кот положит и сущ , 0<l<∞. Тогда эти ряды (1), (2) одновр-но сх-ся или расх-ся.

+++.Разложение некоторых элементарных ф-ций в степенные ряды

Если ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.

Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-ции f(x) ограничены в окрестности U(x₀) точки x₀ одним и тем же числом С,т.е. |f⁽ⁿ⁾ (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.

Если ф-ция f(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.

Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),

sinx=x/1!-x³/3!+x⁵/5! –x⁷7! +...+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...

(-∞<x<+∞),

cosx=1 - x²/2!+x⁴/4! – x⁶/6!+...+(-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!+…

(-∞<x<+∞),

ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x⁴/4+...+(- 1)^n-1 xⁿ/n+...

(-1<x≤1),

(1+x)^m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+

+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!

Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1

++++.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений

Разложение ф-ций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений ф-ций, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений. Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница, то ипользуется оценка

∆<|u_n+1|, где u_n+1 – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.

++++++.Определенный интеграл в экономических и физических задачах

1)Вычисление объема произведенной продукции. Известно, что производительность труда в течение рабочего дня меняется. Предположим, что известна непрерывная функ­ция f(x), которая характеризует измерение производительности от вре­мени . Определить объем продукции, произведенной рабочим за про­межуток времени от t₁ до t₂. Решение. Искомый объем можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенной за бесконечно малые отрезки вре­мени. Возьмем разбиение {x_k} отрезка [t₁,t₂]. В этом случае предел интегральных сумм при диаметре d®0 разбиений{x_k} отрезка [t1,t2] даст искомый объем продукции. Этот предел существует, так как функция f(x) непрерывная, т.е.