Свойства степенных рядов
Теорема (Абеля)
1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .
2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
Заметим, что теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если точка х0 – точка сходимости, то интервал заполнен точками абсолютной сходимости. Если – точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки – состоит из точек расходимости. Из этого можно заключить, что существует число R>0, что при мы имеем точки абсолютной сходимости, а при – точки расходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора.
Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Определение
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции f в точке a. В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена
Свойства
- Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
- Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например:
Ряды Маклорена некоторых функций
Экспонента:
Натуральный логарифм для всех
Биномиальное разложение:
для всех и всех комплексных где
В частности:
- Kвадратный корень:
для всех
для всех | x | < 1
- Конечный геометрический ряд:
для всех
Тригонометрические функции:
для всех
для всех
для всех
для всех
43.Разложение функций в ряд по степеням x.
формуларяда Маклорена (1)
1. . Имеем
;
.
Тогда по формуле (1) .
Областью сходимости данного ряда является вся числовая прямая, т.е. .
2. . Имеем
,
откуда и т.д.
Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка , где .Поэтому по формуле (1) имеем
.
Область сходимости ряда .
3. . Рассматривая аналогично предыдущему, получим .
Область сходимости ряда .
4. , где – любое действительное число.
Имеем
При получим
Тогда по формуле (1) имеем
.
Интервал сходимости ряда (на концах интервала сходимость зависит от конкретных значений ).
5. для всех
6. для всех