Наивероятнейшее число появлений события

Наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью p ( и не появиться с вероятностью q = 1 – p ), определяется из двойного неравенства
np-q£ £np+p, (15)
а вероятность появления события А хотя бы один раз вычисляется по формуле
P=1 – qⁿ. (16)

Пример 18. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

Решение. Запишем двойное неравенство (15) при n=10, p=0,4, q=0,6 для этого случая: 10×0,4-0,6£ £10×0,4+0,4 или 3,4£ £4,4.

Так как число должно быть целым, положительным, то =4. Найдем вероятность получения этого числа по формуле Бернулли (11) .

Пример 19. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания в десятку была больше 0,9?

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (16). В данном случае p=0,3; q=0,7; P>0,9; число выстрелов n необходимо определить из неравенства 1-(0,7)ⁿ>0,9. Решим его: (0,7)ⁿ<0,1, отсюда
, т.е. n³7.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Понятие случайной величины

Случайной величиной (СВ) называется числовая функция x=x(w), заданная на пространстве W элементарных событий w и такая, что для любого числа x определена вероятность P(x<x)=P{w:x(w)<x}. Другими словами, случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно, какое именно.

Обычно рассматриваются два типа СВ: дискретные и непрерывные. Дискретной называется такая СВ, которая принимает конечное или счетное множество значений. Возможные значения непрерывной СВ заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный).

Случайная величина считается заданной, если задан закон ее распределения. Законом распределения дискретной СВ называется соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями.

Пусть дискретная СВ x может принимать значения . Обозначим - вероятность того, что СВ x принимает значение .

Таблица

x			...
P			...

называется рядом распределения вероятностей дискретной СВ x или законом распределения дискретной СВ x. Поскольку дискретная СВ x обязательно принимает одно из значений , события {x= } образуют полную группу событий, поэтому . Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.